GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 499 



con una conica fissa, la quale può supporsi coincidente coll'as- 

 soluto dello spazio euclideo; si tratterà perciò o del gruppo oo^ 

 delle similitudini) o del grujjpo 00*^ dei movimenti euclidei. — 

 Nel primo caso la stessa quadrica fissa è la superficie F, luogo 

 dei punti A; e le tangenti a questa quadrica sono le linee T- Nel 

 secondo caso la superficie F si è ridotta ad una curva — la 

 conica fissa — ; ma i due gruppi relativi possono considerarsi 

 come 'ottenuti per proiezione stereografica da gruppi proiettivi 

 sopra una quadrica di S^, sulla quale si sia fissato il punto 

 centro di proiezione: il cono di rette uscente da questo punto 

 è allora la superficie F, e le oo^ rette della quadrica sono 

 le linee y. 



Abbiamo trovati dunque tre gruppi tipici: 



l** Gruppo continuo 00'' delle trasformazioni proiettive di S3 

 che lasciano fissa una quadrica non degenere (e ciascuno dei suoi 

 sistemi di generatrici), ovvero anche gruppo 00 "^ dei movimenti 

 non euclidei; 



2° Gruppo 00' delle similitudini; 



3° Gruppo ce'' dei movimenti euclidei. 



16. — Supponiamo ora che vi sia sulla varietà Mg un'in- 

 voluzione invariante I„ [n > 2), i cui gruppi si compongano di 

 punti corrispondenti a una stessa curva p sopra F (cfr. n° 14). 

 A quest' involuzione apparterranno allora tanto il sistema 00 2 

 delle superficie a, quanto il sistema lineare cc^ in cui il prece- 

 dente (essendo d'indice due) sarà pur sempre contenuto. Questo 

 sistema lineare (Z) non sarà dunque più omaloidico, ma per- 

 metterà di rappresentare l'involuzione I„ sullo spazio S3 , e la va- 

 rietà Mg sopra questo Sg multiplo (wp'°), in modo che al gruppo Gr 

 corrisponda ancora, in questo spazio, uno dei tre gruppi proiet- 

 tivi trovati al n° prec. — È facile anzi vedere che, di questi 

 tre gruppi, non potrà qui presentarsi che il 1° (ossia il gruppo 

 proiettivo con una quadrica fissa). Infatti il nostro Sg multiplo 

 deve necessariamente ammettere una superficie di diramazione 

 di ordine >1, perchè se no alle rette di esso corrispondereb- 

 bero sulla Mg curve riducibili (^), e in particolare alle rette di 



(•) È noto infatti che, sopra una curva irriducibile, un'involuzione ra- 

 zionale di ordine « > 1 (priva di punti fissi) ammette sempre almeno due 

 gruppi distinti con elementi multipli. 



