500 GINO FANO 



un piano curve (anche riducibili) di una superficie del sistema Z, 

 formanti sopra questa superficie un sistema lineare oo^; ed è 

 noto che le curve di un sistema lineare non possono tutte spez- 

 zarsi in due pili parti variabili — come qui avverrebbe — , 

 a meno che queste parti non formino un fascio — il che in- 

 vece non sarebbe possibile — . Di più, questa stessa superficie 

 di diramazione dovrà essere invariante rispetto al gruppo proiet- 

 tivo ottenuto in- S3. Ora, dei tre gruppi incontrati al n° prec, 

 il primo soltanto trasforma in se una superficie di ordine >1 

 (e precisamente una quadrica) ; dovrà dunque certo presentarsi 

 questo caso. 



Da questo gruppo proiettivo c»*^ di S3 si può estrarre un 

 sottogruppo semplice oo^^ il quale lasci fisso un piano generico; 

 vi sarà perciò in G un sottogruppo analogo^ il quale lascerà fissa 

 una superficie generica del sistema Z, e, sopra questa, l'invo- 

 luzione di ordine n costituita dagli 00 ^ gruppi di I„ che vi sono 

 contenuti. D'altra parte i tipi di gruppi proiettivi semplici oo^ sopra 

 una superficie sono tutti conosciuti; e, fra questi, il solo grappo 

 proiettivo di una quadrica (non degenere) con una conica fissa 

 soddisfa alla duplice condizione (qui richiesta) di trasformare in 

 se un'involuzione di ordine >1 (e precisamente un'involuzione 

 quadratica) e una rete di curve irriducibili (coniche) apparte- 

 nente a questa involuzione (e corrispondente al sistema delle 

 rette del piano rappresentativo). Sarà dunque necessariamente 

 n=2. Infine, uno spazio S3 doppio avente come superficie di 

 diramazione una quadrica non degenere si può rappresentare 

 sopra una M| di S4, in modo che alle trasformazioni proiettive 

 di esso che lasciano fissa la quadrica di diramazione corrispon- 

 dano le trasformazioni proiettive di questa M3 che lasciano fisso 

 un punto dello spazio S4 esterno alla varietà stessa (potendosi 

 r So doppio considerare come proiezione della M| da quest'ul- 

 timo punto) (^). Concludiamo perciò che i gruppi di questa nuova 

 categoria (caso n>l del n'' 14) devono tutti ridursi a un unico 

 tipo: al gruppo co" delle trasformazioni proiettive di una quadrica 

 di S4, che lasciano fisso un punto di questo spazio esterno alla 

 quadrica, e quindi anche una sezione iperpiana generica di questa 



(') Di questa rappresentazione è fatto uso anche in EF, § 18. 



