GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 501 



quadrica (determinata cioè da un S3 ad essa non tangente). 

 Questo gruppo a)« soddisfa appunto alle varie condizioni im- 

 poste; e le coppie di punti della quadrica allineate sul polo 

 della sezione iperpiana fissa formano un'involuzione quadratica 

 invariante rispetto al gruppo medesimo, la quale si trova nelle 

 condizioni richieste per la I„. 



Questo gruppo 00" si può ricondurre, per mezzo di una 

 proiezione stereografica e (eventualmente) di una trasformazione 

 proiettiva, a un gruppo di trasformazioni conformi, rispetto alle 

 quali dovrà essere invariante una sfera (reale o immaginaria, 

 ma non di raggio nullo). 



Troviamo dunque come 4" tipo di questa categoria III il 

 gruppo 00*^ delle trasformazioni conformi che mutano in sé una 

 sfera (non nulla). Questo gruppo trasforma in sé l'involuzione 

 razionale delle coppie di punti che, considerate come sfere nulle, 

 appartengono ad un medesimo fascio contenente la sfera fissa. 



17. — Passiamo ora ad occuparci di quei gruppi Gr che 

 sopra ogni linea t subordinano tutte le possibili co^ trasforma- 

 zioni proiettive (caso 2° del n° 12). 



Consideriamo entro G quel sottogruppo (continuo) H, di 

 dimensione A;— 3, che si ottiene imponendo come fisso un punto 

 generico P della varietà M3. Questo sottogruppo trasformerà in 

 sé stessa la superficie TT, luogo delle oo^ curve T uscenti da P. 

 Da ogni punto di questa superficie esciranno pure co^ curve t, 

 non contenute in generale in TT stessa; e, variando quest'ultimo 

 punto, varieranno tali curve, assumendo in tutto co^ posizioni 

 diverse, descrivendo cioè l' intero complesso delle T (sicché 

 ogni T avrà (almeno) un punto comune con quella superficie TT). 



Dico jora che questo sottogruppo H deve coincidere con uno 

 dei gruppi già studiati precedentemente (e riducibili ai tipi dei 

 n* 15 e 16). Basterà perciò far vedere che il gruppo H subor- 

 dina ancora nell' intorno di un nuovo punto generico R della 

 varietà M3 lo stesso gruppo proiettivo od^ (con un cono qua- 

 drico elementare invariante) subordinatovi dall'intero gruppo G; 

 in altri termini, che le co^ curve t uscenti da R vengono per- 

 mutate anche da H in tutti gli cx)^ modi possibili. — Sopra 

 ogni curva T verranno però subordinate da H sole co- proict- 

 tività, con un punto fisso A; e questo punto avrà per luogo la 

 stessa superficie TT contenente le t che escono da P. 



