502 GINO FANO 



Consideriamo perciò la superficie luogo delle cc^ y uscenti 

 dal punto R, nonché la curva r intersezione di questa superficie 

 colla TT: al variare di R questa curva descriverà sopra TT un 

 sistema al più oo-^, invariante rispetto ad H. 



Ora, la superficie TT può riferirsi birazionalmente al cono 

 quadrico delle tangenti in P alle coi curve t di cui essa è luogo, 

 assumendo come omologhi due punti (rispett. di TT e di questo 

 cono) i quali risultino uniti per le medesime operazioni di H 

 (corrispondenza analoga a quella considerata al n" 9 tra le su- 

 perficie qp e il piano tt). In questo modo vengono a corrispon- 

 dersi i gruppi (proiettivi, non integrabili) subordinati da H sopra 

 quelle due superficie; e, dovendosi avere sul cono quadrico 

 considerato un gruppo (proiettivo) non integrabile il quale operi 

 in modo oo^ sopra ciascuna generatrice di esso, questo non potrà 

 essere che il gruppo totale co", o il suo sottogruppo inva- 

 riante 00 6, In ambo i casi non esiste sul cono alcun sistema in- 

 variante di curve non passanti per P e di dimensione <3; e 

 r unico di dimensione = 3 è quello delle sezioni piane. Le 

 curve ?• su TT dovranno dunque corrispondere alle sezioni piane 

 di questo cono; e su ciascuna di esse, quindi anche nella 

 serie ooi delle t uscenti da un punto R, verranno subordinate 

 da H co 3 trasformazioni. 



Il sottogruppo B. di Gc rientra dunque a sua volta in uno dei 

 tipi già incontrati di questa categoria III. 



Quale sarà questo tipo? Poiché gli attuali punti A hanno 

 per luogo una superficie TT sulla quale viene subordinato un 

 gruppo equivalente ad un gruppo proiettivo sopra un cono qua- 

 drico di §3, dobbiamo trovarci nel 2'' o 3° caso del n*^ 15: e 

 diremo perciò : 



Il sottogruppo ìi di G è equivalente ad un gruppo- proiettivo 

 (oo'' co") sopra una quadrica non degenere di S^, sulla quale 

 si sia fissato un punto P. Le linee t sono le rette di questa 

 quadrica; la superficie TT, il cono di rette uscente da P. 



All'intero gruppo G corrisponderà sopra questa quadrica un 

 gruppo di trasformazioni, le quali dovranno ancora mutare rette 

 in rette, e coni di rette in coni di rette; dunque ancora un 

 gruppo proiettivo. E questo gruppo, dovendo contenere tre pa- 

 rametri in pili di H, sarà l'intero gruppo co^*' delle trasforma- 

 zioni proiettive di quella quadrica: non un gruppo co-', perchè 



