GRUPPI CONTINUI PRIMITIVI DI TRASFORMAZIONI CREMONIANE, ECC. 503 



il gruppo proiettivo cc'^'^ di una quadrica non degenere di S4 

 non contiene sottogruppi oc^ {^). 



È noto poi che questo gruppo ce 10 si può ridurre a sua 

 volta al gruppo di tutte le trasformazioni conformi di S3. Tro- 

 viamo pertanto come 5° ed ultimo tipo di questa categoria III 

 il gruppo o)!*' di tutte le trasformazioni conformi (che mutano 

 cioè le sfere in sfere). 



18. — Con ciò è completamente risoluta la questione posta 

 al principio di questo lavoro; ed è (nuovamente) dimostrato che 

 ogni gruppo continuo primitivo di trasformazioni cremoniane dello 

 spazio si può ridurre, con un'opportuna trasformazione cremoniana, 

 a un gruppo di trasformazioni proiettive conformi. Più parti- 

 colarmente, ogni gruppo siffatto è riducibile a uno dei nove gruppi 

 seguei^ti, i quali sono tutti birazionalmente distinti fra loro : 



A. Gruppi proiettivi non conformi : 



1° Gruppo totale oo^^; 



2" Gruppo lineare generale 00 ^^ (o gruppo delle affinità); 



3° Gruppo lineare speciale coi'^ (0 gruppo delle affinità 

 equivalenti) ; 



4^ Gruppo 00 1*^' delle trasformazioni proiettive che mutano 

 in sé stesso un complesso lineare non speciale; 



5** Gruppo 00*^ delle trasformazioni proiettive che lasciano 

 fissa una quadrica non degenere^ e ciascuno dei due sistemi di ge- 

 neratrici su di essa (equivalente al gruppo dei movimenti di uno 

 spazio S3 non euclideo); 



B. Gruppi proiettivi e conformi ad un tempo, dunque 

 gruppi di similitudini : 



6° Gruppo 00^ di tutte le similitudini; 

 7° Gruppo co'5 dei movimenti [euclidei); 



0) LiE, Theorie der Transformationsgru2)pen, voi. II, p. 455; voi. Ili, 

 pp. 258 e seg. Questa proprietà del gruppo proiettivo 00*" di una M5 non 

 degenere di S4 (0 di un complesso lineare non speciale di S3) può anche 

 dimostrarsi geometricamente in modo semplice. 



