514 GIUSEPPE PEANO 



" I segmenti ab e ed hanno la stessa lunghezza, la stessa 

 direzione e lo stesso verso „ ; 

 ovvero " La figura ahdc è un parallelogrammo „ , 

 ovvero " Con un moto di traslazione, si può portare ah a coin- 

 cidere con ed „. 



Assumendo come primitiva la relazione indicata, non ci 

 tocca analizzare le espressioni corrispondenti del linguaggio 

 ordinario; ma ci basta assumere, quali proposizioni primitive, 

 quelle proprietà della relazione considerata, da cui dipendono 

 tutte le altre. 



Ammettiamo come proposizioni primitive, e le indichiamo 

 con Pp, le seguenti: 



a, b, e, d, e, fé pnt . 3. 



1. a — b==: a — b Pp 



2. a — b = e — d . <;) . e — d = a — b Pp 



3. a — b = e — d .e — d = e — f.[).a~b=^e — /". Pp 



che esprimono le proprietà riflessiva, simmetrica, e transitiva 

 del segno = . 



Queste tre Pp hanno la forma di proposizioni di Logica 

 (F2 § 1 P81, 82, 83); ma esse esprimono fatti geometrici; ed è 

 solo perchè esse sono verificate, che ci conviene indicare la 

 relazione considerata fra i quattro punti sotto forma di egua- 

 glianza. 



Per riconoscere la verità delle Pp basta la semplice osser- 

 vazione dello spazio fisico; questa è una condizione necessaria 

 per le Pp, affinchè il nostro studio possa essere immediata- 

 mente utile. 



Per riconoscere invece che esse sono indimostrabili, e in- 

 dipendenti fra loro, si attribuisce alle idee primitive un'inter- 

 pretazione differente in guisa che essendo verificate alcune di 

 esse, non lo siano le altre. 



Se, conservando a " pnt „ il suo significato, colla relazione 

 a — b = e — d intendo " i quattro punti giacciono in uno stesso 

 piano „, sono soddisfatte le condizioni 1 e 2, e non la 3; la 

 P3 esprime pertanto una proprietà della relazione considerata, 

 che non è conseguenza delle 1 e 2. 



