ANALISI DELLA TEORIA DEI VETTORI 519 



si chiama la somma dei due vettori u e v; e sì definisce sim- 

 bolicamente come segue: 



20. u,ve\tt.^.u-\-v:='ixelae-pnt.[)a.x^={(a-{-u)-{-v) — a]def. 



" Per somma dei due vettori u e v si intende il valor co- 

 stante dell'espressione a'^u-\-v — a, qualunque si sia il punto a „. 

 Risulta dalla definizione: 



21. u,v e vtt .^ . u -\- V e vtt. 



22. u,v e vtt . a e pnt . ';} .u -j- v = {a -\- u -\- v) — a 



e trasportando un termine 



23. u, V e vtt . a e pnt . . a -\- u -\- v = a -\- {u -{- v). 



Il primo membro di questa eguaglianza sta per {a -f- u) -\- v 

 (PI 6); quindi questa somma ha la proprietà associativa. 



24. ti, V e YÌt . ^ . u -\- V = V -{- u, 



che esprime la proprietà commutativa della somma di due vet- 

 tori. Infatti, dalla PI 7, tenendo conto della 23, essendo a un 

 punto, si ha 



a -{- {u -\- v) = a -\- {v -\- u), 



e sottraendo a (P14), si ha il teorema. 



25. u, V, t^e vtt . ^ . u -j- {v -{- w) = {u -\- v) -{- w, 



che esprime la proprietà associativa della somma di vettori. 

 Infatti, sia a un punto; dalla P23, che esprime la proprietà as- 

 sociativa della somma d'un punto con due vettori, si ha: 



a -\- [{u -\- v) ~\- w] = [a ~\- {u -\- v)] -\- w := [{a ~{- u) -\- v] 

 -\- w = {a -\- ti) -{- {v ~\- w) = a -^ [u -\- {v -{- w)] 



e sottraendo a dal primo e dall'ultimo membro di questa serie 

 di eguaglianze si ha la nostra P. 



