ANALISI DELLA TEORIA DEI VETTORI 521 



Dalla seconda, ove si faccia a = Q, e tenendo conto della 

 prima, si ha Iw = u. 



Fatto nella seconda a = 1, e tenendo conto del risultato 

 ora ottenuto, si ha 2u ^ u -\- u; e così Su = u -\- ii + u, ecc. ; 

 cioè se a è un N, au è la somma di a vettori eguali ad u. 

 Facendo nella stessa a= — 1, e tenendo conto della prima, si 

 ha = (— 1) u + u, onde (—1) u = — u;{— 2)u = — 2u, ecc. 

 Così ne risulta il significato di au, qualunque si sia l'intero a, 

 cioè: 



32. u e vtt . a e n . Q . au e vtt. 



Colla scrittura uà, non ancora definita, ci conviene indicare 

 lo stesso au, cioè porremo: 



32'. u e vii . a e lì .^ . uà ^= au. def. 



33. u e vtt . a, b e n . 'J . [a -\- b) u = au -\- bu. 



Questa formula esprime che il prodotto d'un numero per 

 un vettore ha la proprietà distributiva rispetto al fattore nu- 

 merico. Essa si è assunta, per definizione (P30) per b ^\. Sup- 

 postala riconosciuta per un certo valore di b, si avrà: 



\a -\- {b -^ 1)] u = [(a + è) + 1] M, dall'Aritmetica 



= {a -{-b)u -\- u, per la P31 



= au -\- bu -j- u , per l'ipotesi, 



= au -\- {bu -\- u) per l'associatività della 



somma, P25, 



= au -f (Z* -f- 1) u pei' la <ief. P31 ; 



cioè essa sarà ancora vera per b -\- 1. Viceversa, se è vera per 

 b -\- 1, risulta dalle formule scritte, che è pure vera per b; 

 dunque essa è vera per ogni valore intero, positivo o nullo o 

 negativo, di b. 



34. « € n . u, V € vtt . 3 . a{u -\- v)-= au -{- av. 



Questo teorema dice che il prodotto d'un numero per un 



