522 GIUSEPPE PEANO 



vettore ha pure la proprietà distributiva rispetto al fattore 

 vettoriale. Per dimostrarla, si osservi, che per la def. P30, essa 

 è verificata per a = 0! Suppostala verificata per un certo valore 

 di a, sarà: 



(a + 1) (w + f) = « [u + v) + [u + v) per la def. P31 



= au -\- av -\- u ^ V per ipotesi , 



=^ au -\r u -\- av -\- V perchè la somma è 



commutativa (P24) 



= {a-\- \)u 4- [a -^\)v per la def. P31 ; 



cioè essa sarà pure verificata per a -|- 1 ; e dalle formule scritte 

 si ha pure che, se essa è verificata per a + 1, sarà pure veri- 

 ficata pel numero precedente a. Dunque essa è vera qualunque 

 sia l'intero a. 



Riconosciuta la proprietà distributiva del prodotto rispetto 

 alla somma di due termini, lo si estende alla somma di 3, 4 . . . 

 termini. Sarà quindi 



{a^ -^ a^ -\- . . .) u ^= a-i u -\- a^ u -\- . . . , 



e supposte le a tutte eguali, ed in numero di è, si avrà (per 

 h positivo) 



35. a,ben.ue vtt . ^ . (ba) u = b {au) 



proprietà associativa del prodotto di due numeri e d'un vettore; 

 e che si riconosce dalle cose dette vera qualunque sia il segno di b. 



Se un vettore è nullo, moltiplicandolo per un numero qua- 

 lunque si ha per risultato 0. 



Viceversa, si ha: 



36. a e N . M e vtt . aw = . 3 . M ^ 0, Pp. 



come si riconosce dall'intuizione geometrica. Ma non potendo 

 noi dedurla dalle proposizioni precedenti, con processi di logica 

 pura, ci occorre assumerla come proposizione primitiva. 



Che la P36 non sia conseguenza delle precedenti, risulta 

 da ciò che se per " pnt „ intendo i punti d'una circonferenza, 



