ANALISI DELLA TEORIA DEI VETTORI 527 



Prodotto interno di due vettori. 



Nelle pagine precedenti siamo partiti da due idee primitive; 

 l'ima è quella di " pnt „ , e l'altra è la relazione fra quattro 

 punti espressa in forma di equidifferenza. Queste due idee si sono 

 determinate mediante 7 Pp, che sono le 1, 2, 3, 4, 12, 36 e 38. 



Si è definito successivamente lo (P7), il " vettore „ (PIO), 

 la somma d'un punto e d'un vettore (Pll), la somma di due 

 vettori (P20), e la loro differenza (P27), il prodotto d'un vet- 

 tore per un numero razionale (P30, 31, 37, 41); e infine la somma 

 di pili punti con coefficienti interi, o razionali (P46). 



Queste somme hanno le proprietà delle somme algebriche; 

 e il calcolo geometrico che ne risulta è formalmente identico 

 al calcolo algebrico. Questa coincidenza è prodotta dal fatto che 

 si è indicata sotto forma di equidifferenza la relazione fonda- 

 mentale fra i quatti'o punti, e con opportune definizioni si sono 

 estese alla geometria delle identità algebriche. Si avrebbe avuto 

 un calcolo geometrico ancora identico all'algebrico, se la rela- 

 zione fra i quattro punti si fosse scritta sotto forma di pro- 

 porzione ajb = c/c/; in tal caso i segni 



(P7), « + u (Pll), u^v (P20), — u (P26), uà (P30, . . . 41), 



Xi «1 -{- x^^a.y -\r • • • ~^ ^n (in (P46) 



dovrebbero essere rispettivamente sostituiti con 



1 , a X «< , u "yi V , fu, ìf, a^> aj- . . . a^». 



Se invece di indicare il vettore di estremi a e b con b — a, 

 come fece H. Grassmann, e qualche volta anche Hamilton, lo 

 si indica con ab, si avrà un calcolo geometrico di forma diversa 

 dall'algebrico. Ad es. la formula (a — h) -\~ {b — e) = a — e si 

 presenterebbe sotto la forma ab -\- bc = ac. 



Colle operazioni finora introdotte si possono esprimere re- 

 lazioni e funzioni di punti. È facile il vedere che ogni funzione 

 siffatta non si altera passando dalla figura considerata ad una 

 sua affine. In conseguenza colle operazioni precedenti non po- 



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