528 GIUSEPPE PEANO 



tremo parlare della distanza di due punti, del valore degli an- 

 goli, e in generale di nessuna delle proprietà metriche delle 

 figure. Per parlare di queste proprietà è necessario introdurre 

 una nuova idea primitiva. In Geometria elementare l'idea pri- 

 mitiva introdotta è quella di moto, da cui sì deduce V egua- 

 glianza dei segmenti, degli angoli, e le operazioni somma e 

 differenza, seni, coseni, ecc. Mediante questi concetti si suol 

 definire nel calcolo geometrico, il prodotto interno di due vet- 

 tori Il e V, che indicheremo con u\v, seguendo Grassmann, e che 

 si legge " u indice v „ , come " il prodotto delle loro lunghezze 

 pel coseno dell'angolo compreso „. 



Non volendosi parlare di coseni, si può definire come segue: 



" Il prodotto di due vettori paralleli e dello stesso senso 

 vale il prodotto delle loro lunghezze. Il prodotto di due vettori 

 di senso contrario vale il prodotto delle loro lunghezze preso 

 col segno — . Il prodotto di due vettori non paralleli vale il 

 prodotto del primo per la proiezione oi-togonale del secondo sulla 

 direzione del primo „. 



Volendo esprimere questa definizione coi simboli ideogra- 

 fici, ci occorre analizzare i termini " lunghezza d'un vettore, o 

 distanza di due punti „, * proiezione d'un vettore „ ecc.; il che 

 importerebbe a ricostrurre la Geometria. Tanto fa assumere 

 l'espressione u\v come idea primitiva, determinandola mediante 

 le sue proprietà fondamentali , e deducendone la Geometria 

 metrica. 



Noi ammetteremo pertanto che: 



51 . u,v e vtt . Q . w I V e q . Pp. 



52. „ ^ .u\v = v\u Pp. 



53. u, V, tv e vtt . [) . {u -\- v)\w = u\w -\- v\w Pp. 



54. ti e vtt . w ~ = , Q . w j w e Q. Pp. 



" Il prodotto interno di due vettori è un numero reale; 



esso ha la proprietà commutativa, e la distributiva rispetto 



alla somma. Il prodotto d'un vettore non nullo per se stesso è 

 un numero positivo ,. 



