530 GIUSEPPE PEANO 



Ma — , ove n e un intero positivo, ed a un intero qua- 

 lunque, rappresenta ogni numero razionale. Onde si ha infine 

 il teorema che comprende tutte le formule ora scritte: 



55. u, V e vtt . .r e r . ^ . (xu) \v = x [u \ v) 



che esprime la proprietà associativa del prodotto d'un fattore 

 razionale e di due fattori vettoriali. 



Sussistendo le proprietà commutativa ed associativa {P52 

 e 53), sussistono pure tutte le formule algebriche di secondo 

 grado, le quali siano interpretabili fra vettori. 



56. u e vtt . . 11^ = u\u dei. 



cioè diremo quadrato d'un vettore il prodotto interno del vet- 

 tore per se stesso. Grassmann sottolineava l'esponente 2 ; ma si 

 può adottare la scrittura più semplice senza ambiguità. Dalla 

 P54 si ha che u^ è una quantità positiva, o nulla se è nullo u. 

 Porremo per definizione: 



57. u € vtt . 3 . mod u = ^{u^). def. 



Il segno " modulo di m „ corrisponde alle frasi " lunghezza 

 grandezza del vettore w „ , " distanza degli estremi del vet- 

 tore u, questa distanza essendo misurata con una fissata unità 

 di misura „. 



Si ricava 



58. u e vtt . 3 . mod u = . =^ . u = 0. 



59. „ mod ( — u) = mod u 



60. u € vtt . a: € r . 3 . mod ixu) = moda? mod?/. 

 Infatti, per dimostrare quest'ultima, si ha 



mod [xu] = V [(ìcm)2] = y {x^H~) = \x^ \u^ = moda; modw. 



61. u,v e vtt . 3 . mod {u\v) < modw modi;. 



