ANALISI DELLA TEORIA DEI VETTORI 531 



Questa formula, differente delle formule algebriche, esige 

 dimostrazione speciale. 



Essendo x un r, per la P54 si ha: 



{xu + vY > 0. 

 Sviluppando si ha : 



X^ W2 _|_ 2j- M 1 1' + t'2 > 



(:. mod u + ^^Y + v^ - f-^ì' >0. 



\ ' moclM / \ mori ?< / 



Ora il primo termine si può rendere tanto piccolo quanto 

 si vuole prendendo convenientemente il razionale x; è quindi 

 necessario, perchè sia soddisfatta questa diseguaglianza; che sia 



u\v 



r.o, 



modw 



cioè 



(mod uY (mod vY>{u\ vY , 



che equivale alla proposizione a dimostrarsi. In questa dimo- 

 strazione si è supposto implicitamente che il fattore mod w, per 

 cui si è diviso, fosse diverso da zero. Se mod u = 0, la propo- 

 sizione è evidentemente vera. 



62. u,v€ vtt . . mod {u -{- v)< mod u -\- mod v. 



" Il modulo d'una somma di vettori non supera la somma 

 dei moduli „. Essa equivale alla proposizione di Geometria: 



" In un triangolo un lato è minore della somma degli altri 

 due „, 



proposizione dimostrata in Euclide, e assunta come postu- 

 lato da Legendre. Noi la possiamo derivare dalle nostre pre- 

 messe. Invero si ha: 



(u -|- vY = u^ -\- 2u\v -\-v'^ 

 ed essendo 



u\v< mod f w 1 1') < mod u mod v. 



