532 GIUSEPPE PEANO 



si avrà: 



[mod {u -\- v)]- < (mod tiY -j- 2 mod u mod v -j- (mod vY , 



ed estraendo le radici quadrate si ha la formula P62. 



Per definire il prodotto d'un numero irrazionale per un 

 vettore, ricorreremo alla teoria dei limiti. Tutto quanto è detto 

 nelle mie " Lezioni di analisi infinitesimale „, a. 1893, § 279-288, 

 sui limiti dei numeri complessi d'ordine qualunque, sussiste inal- 

 terato parlando di punti inv^ece che di numeri complessi; anzi 

 in vista di questa applicazione se ne è fabbricata la nomencla- 

 tura. Ma qui bastano le definizioni. 



Supporremo noti i simboli di logica K', ed f ; e i segni di 

 analisi D (classe derivata), e " lim „ davanti ad una funzione 

 numerica. 



63. u eK^ q . Xq eD u .fé. vtt fu.ae vtt . Q : 



a = ììmx,u,xo fx.=:. \ìmx,u.xo ^od {fx — a) = 0. def. 



64. w e K' q . iPo £ D w . /" e pnt f m • : idem. def. 



" Sia u un gruppo di numeri reali, Xq un numero della classe 

 derivata di u, cioè a cui i numeri del sistema u si possono 

 avvicinare indefinitamente ; f sia il segno d'un vettore funzione 

 definita nella classe u-, e sia a un vettore determinato. Allora 

 dicesi che a è il limite del vettore fx, ove x, variando nel 

 gruppo w, tende ad Xq , quando il limite del modulo di fx — a 

 è lo zero. Lo stesso dicesi pure se fx è un punto funzione di x, 

 ed a un punto fisso „. 



Per prodotto d'un numero irrazionale x^^ per un vettore u 

 intendiamo il limite del prodotto d'un numero razionale x per u, 

 ove x tenda ad a^o : 



65. XQ^q^Y .u ^ vtt , 3 . iCo M = limx.r.xo {xu). def. 

 Bisogna ammettere che questo limite esista: 



66. iCo e q ~ r . w e vtt . . a^o w e vtt Pp. 

 il che non è conseguenza delle Pp precedenti; poiché esse sus- 



