558 VITO VOLTERRA — SULLA INTEGRAZIONE DI UNA CLASSE, ECC. 



Infatti siccome le (12) ammettono l'integrale 



p\+ pl+ ... +/>v = COSt, 



così per Ogni valore reale di t, avremo 



onde applicando il lemma precedente, si avrà, facendo percor- 

 rere a t tutto l'asse reale, che le pi si manterranno olomorfe 

 entro tutti i cerchi aventi il centro sull' asse reale e aventi il 

 raggio eguale a 



1 



r = , =- 



4V-' A Vi^,»" + i>/ + ... -^p'"^ 

 il che dimostra la proposizione. 



3. — Dai due lemmi stabiliti si deduce mediante una os- 

 servazione del Poincaré che le p, saranno sviluppabili in serie 

 ordinate per le potenze di 



e — 1 





e lo sviluppo sarà valido per tutti i valori di t fra — oo e + oo ; 

 da cui segue il teorema: 



Se la forza viva iniziale, nel moto spontaneo di un sistema 



a caratteristiche indipendenti d'ordine v è -^ Tn, le caratteristiche 



potranno esprimersi in funzione del tempo mediante serie di po- 

 tenze di 



_ ^2:rV2AVT^o< _ 1 



essendo A una quantità più grande delle \ «i^' ! . 



I coefficienti si calcoleranno con operazioni razionali da ese- 

 guirsi sui valori iniziali delle pi e sui coefficienti a^[', 



Questo teorema mostra che la questione della determina- 

 zione effettiva delle caratteristiche per ogni valore del tempo 

 è completamente risoluta. 



