692 LUIGI BERZOLARI 



LETTURE 



Sulla curvatura delle varietà 

 tracciate sopra una varietà qualunque; 



Nota I del Prof. LUIGI BERZOLARI. 



In questa Nota, ed in un'altra successiva che presto verrà 

 pubblicata, sono stabilite alcune proprietà generali delle varietà 

 tracciate sopra una varietà qualunque, le quali s'ottengono con- 

 siderando quelle espressioni che, introdotte dapprima dal signor 

 LiPSCHiTz sulla scorta di analogie fornite dalla Meccanica ana- 

 litica, furono poi studiate dal sig. Killing in forma completa- 

 mente geometrica — e rappresentate coi simboli (Dj), (D2),... — 

 nell'ultimo paragrafo del suo noto libro Die nicht-Euklidischen 

 Raumformen in analytisclier Behandlung (Leipzig, 1885), al quale 

 sempre ci riferiremo nel seguito. Si noterà in particolare la 

 larga estensione che così vien data del teorema di Meusnier (*), 

 come pure del concetto e delle principali proprietà della curva- 

 tura geodetica d'una linea descritta sopra una superficie dello 

 spazio euclideo a tre dimensioni. 



.1. — La data varietà V^ ad m dimensioni sia immersa in 

 uno spazio S„ di n dimensioni e di curvatura Riemanniana co- 

 stante ^;^, essendo k reale (anche infinito), puramente imagi- 



(*) Finora, per quanto so, la generalizzazione di questo teorema non è 

 stata fatta che per varietà di « — 1 dimensioni immerse in uno spazio di 

 n dimensioni e di curvatura costante (cfr. Killinr, 1. e, § 11, e due mie 

 Note nei " Rend. della R. Accad. dei Lincei ,, 21 novembre 1897 e 2 gen- 

 naio 1898); e soltanto recentemente lo stesso teorema è stato esteso ad un 

 caso diverso dal precedente, benché molto particolare — cioè alle curve 

 situate sopra una varietà a due dimensioni dello spazio euclideo a quattro 

 dimensioni — dal sig. K. Kommehell nel § 4 della sua dissertazione inau- 

 gurale Die Krilmmung der zweidimensionalen Gebilde itn ebenen Raum von 

 vier Dimensionen (Tubingen, 1897), di cui debbo la conoscenza alla cortesia 

 del sig. Prof. Brill. 



