SULLA CURVATURA DELLE VARIETÀ TRACCL\TE, ECC. 697 



loro perpendicolari a due a due: la loro somma (D2) è data da 



(-'-'2) ^^ <^ll I ^'22 r • • • ~r Cn-m,n m > 



ossia da 



m m 



(8) (D,) = 2 ia^a^^ - a<f ) + ... + 5 («<:-""<-"" - «r""'). 



Si riconosce altresì facilmente che, se per l'S^ tangente si 

 conducono ad arbitrio n — m spazi >S„+i fra loro perpendicolari 

 a due a due, e si addizionano le somme dei prodotti delle ra- 

 dici della (7) a due a due, relativamente a ciascuno di sif- 

 fatti spazi, la somma risultante è sempre uguale a (Do). Il 

 sig. KiLLiNG (1. e, n. 130) ha inoltre dimostrato che la quantità (Dg) 

 rimane immutata in ogni flessione {Biegung) della varietà V^ (*). 



3. — Ciò premesso, e mantenendo per V,„ tutte le notazioni 

 date in principio del n. prec, sia W^ una qualsiasi varietà di 

 h dimensioni [h < m), tracciata su V„, e passante per l'origine. 

 Possiamo supporre che gli assi coordinati siano stati scelti in 

 guisa che lo spazio S/j tangente a W^ in venga rappresentato 

 dalle equazioni 



(9) .i-i = , ;^2 = , . . . , .r^_A = , ar„.+i = , . . . , iCn = 0. 



Così che, considerando le coordinate x^, x^, . . . , x„^-h, iPm+i, 

 ...,Xn d'un punto di W^ infinitamente vicino all'origine come 

 funzioni delle coordinate indipendenti a;„,_ftj.i, x^,_h+i, ...,x^, 



(*) Le proprietà qui indicate dell'espressione (D2) erano già state prima 

 stabilite dal sig. Hovestadt (Programm des Miinster'schen Realgymnasiums, 

 1880) pel caso di una varietà a due dimensioni (m = 2). Che (D2) sia un 

 invariante di flessione (Biegungsinvariante) per Vm , segue immediatamente 

 dall'espressione (8) del testo, quando si faccia uso di alcuni risultati dovuti 

 al sig. ScHUR {Ueber die Deformation der Ràume constanten Riemann'scA^» 

 Krihnmimgsmaasses, " Matli. Annalen „, Bd. XXVII, 1886), e dimostrati di 

 nuovo recentemente e in modo più diretto dal sig. Staeckel nella Memoria 

 Ueher Biegungen von n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten (" Giornale di 

 Crelle ,, Bd. 113, 1894); cfr. le formole (J.) di questo Autore. 



