SULLA CURVATURA DELLE VARIETÀ TRACCIATE, ECC. 699 



Lo spazio normale S„_m+/, , ài cui sopra si è parlato . pas- 

 sando per gli spazi rappresentati dalle (3) e dalle (9), ha per 

 equazioni 



quindi, per i punti della sezione Wi"' da esso prodotta in V„ si- 

 tuati in prossimità dell'origine, le coordinate x„,mi, Xmj.^, ...,«•„ 

 saranno date, in funzione delle coordinate indipendenti Xr^.h-i-i, 

 . . . , Xr,,, dalle formole 



uXjnj.1 ^ (Xj-gX,- Xg — p itj 



rs 



{i = 1, 2, ... , n — IH ; r, s^=m — h -\- 1, ... , m), 

 e si avrà: 



TI - in 



(12) (Di'")^ = 5 (al:>_,^,„,_,^, + ... + a^!j\ 



1=1 



Dalle (10), (11) e (12) segue 



(13) (D,)-^ = wy + (Dl"')^ 



cioè il teorema: 



Se sopra una varietà qualunque di uno spazio ad n dimen- 

 sioni e di curvatura costante è data una varietà arbitraria, il qua- 

 drato della sua flessione in ogni suo punto è iiguale alla somma 

 dei quadrati delle sue flessioni tangenziale e normale nello stesso 

 punto (*). 



Considerando gli spazi ad A -|- 1 dimensioni osculatori in 

 (n. 2) alle varietà W^, Wi'', WL"*, e chiamandoli risp. S,,+i, Sl'i,, 

 Sl![i, essi passano tutti per lo spazio S,, tangente in a cia- 

 scuna di quelle varietà, e contengono risp. le normali condotte 

 nell'origine agl'iperpiani 



n-h 



■(òj,:U+i,„,_ft+i + ... + èl,Ì)xr-f5(ai;L;,+i,„_,+i + ... + a!;;U a;,,^.. = 0, 



{*) Per una curva di una varietà ad n — 1 dimensioni, immersa in uno 

 spazio euclideo di n dimensioni, vedasi l'ultima pagina della Memoria del 

 Prof. Ricci, Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque 

 (" Mem. della R. Accad. dei Lincei ,, serie.5% voi. II, 1896); e per una curva 

 di una varietà a due dimensioni dello spazio euclideo a quattro dimensioni, 

 vedasi il § 4 del citato lavoro del sig. Kommerell. 



