700 LDIGI BERZOLARI — SULLA CURVATURA DELLE VARIETÀ, ECC. 



m—h 



5 (Clm—h+\,m-h+l "T ••• 1" ^mm) ^m-i-i = 0, 



Il -m 



dei quali gli ultimi due sono fra loro perpendicolari. Si deduce 

 immediatamente 



ossia: 



Se sopra una varietà qualunque V^ ad ni dimensioni, immersa 

 in uno spazio di n dimensioni e di curvatura costante, è data 

 un'arbitraria varietà W^ di h dimensioni, la sua flessione in ogni 

 suo punto è uguale a quella della sezione normale W^"* di V™, 

 che ha comune in con Wu lo spazio tangente ad h dimensioni, 

 divisa pel coseno dell'angolo formato dagli spazi ad h -\- 1 dimen- 

 sioni osculatori in alle varietà stesse W,j e W^"'. 



E la flessione tangenziale di Wh in è uguale alla sua fles- 

 sione assoluta, moltiplicata pel coseno dell'angolo compreso fra gli 

 spazii osculatori in alla stessa W^ ed alla proiezione W'^^ di 

 W^ sopra lo spazio ad m dimensioni tangente in a Vm (*)• 



Chiamando per ultimo (Dg), (D|,'^) e (D^"') le espressioni (D2) 

 formate nel punto per le varietà W^, Wi,'* e Wi^"', si trova 

 subito 



(U) (D2) = (D(") + (Dr'), 



cioè la proprietà : Colle notazioni dei due precedenti teoremi, la 

 quantità (Dg) formata nel punto per la varietà W^ è uguale alla 

 somma delle quantità (D2) formate nello stesso punto per le due 

 varietà Wl'^ e W;:K 



(*) Il primo di questi due teoremi è una generalizzazione del teorema 

 di Meusnier, e per A; — 00, m = n — 1, h= 1 fornisce l'estensione che del 

 medesimo ha data per la prima volta il Kroneckeu (cfr. Killing, 1. e, § 11, 

 e le mie Note già citate); per k= x> , « = 4, m = 2, h -^1 si trova invece 

 il teorema del sig. Kommerell a cui si è alluso in principio del lavoro. 



11 secondo teorema del testo è l'estensione di una notissima proprietà 

 della curvatura geodetica d'una linea tracciata sopra una superficie dello 

 spazio ordinario: cfr. ad es. Bianchi, Lezioni di Geometria differenziale (Pif^n, 

 1894), pag. 140. 



