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si sa che ogni forma di grado m, a coefficienti costanti, di due 

 soluzioni particolari della medesima soddisfa all'equazione dif- 

 ferenziale lineare omogenea d'ordine m -\- 1: 



S'„,m + pm S„,,^ + gS„,,„,_i = 



in cui le S sono delle espressioni differenziali che si ottengono 

 mediante la formula ricorrente: 



(2) {n + 1)S„,„+, = S'„,„ + ni?S,„,„+ (m - n + l)qS„,n-i 



con Sm,rt,= z, S„,,i = z' (*). 



Moltiplicando ambo i membri della (2) per ni abbiamo l'altra: 



(w + 1) ! S„,,„4.i = n ! S'„,„ + nlnpS„,^n + {n — 1) ! n{ni — w+ l)^S„,„_i 

 Quindi, posto: 



possiamo dire che ogni forma di grado m di due soluzioni 

 della (1) soddisfa l'equazione: 



essendo fmx.\{z) l'espressione differenziale che si ottiene coll'uso 

 ripetuto della formula: 



(3) Ux = f'r + rpfr + rim - r + l)r/,_i 



dando ad r successivamente i valori 1,2,.... m, e prendendo 



Ora, se il coefficiente p lo scriviamo sotto la forma — . 

 ^ ina 



essendo a una conveniente funzione della variabile indipendente, 



la (3) si trasforma nell'altra: 



afr+i = a f'r -j- ~ a'fr -f r{m — r -f- l)qafr., . 



(*) D. Besso, Di alcune proprietà dell'equazione differenziale lineare omo- 

 genea del 2° ordine, " Memorie della R. Accademia dei Lincei ,, Voi. XIV, 

 anno 1882-83. 



