sull'equazione differenziale del 2" ORDINE, ECC. 739 



Posto infine: a/", = F, , questa relazione diventa: 



m — r a 



F.+, = ¥\ - ^^ -^ F. + r{m - r + 1)2F._,. 



E possiamo perciò concludere: Ogni forma di grado m di 

 due integrali dell'equazione differenziale: 



(4) /' + 4-/+4y = 



essendo a, h funzioni qualunque della variabile indipendente, 

 soddisfa all'equazione 



dove F„.a.i(2') è un polinomio differenziale lineare omogeneo d'or- 

 dine m -|- Ij che si ottiene coll'applicazione della formula ricor- 

 rente : 



(5) F.+,= FV - ^^ ^ F. + r(m - r -f 1) JF,_, 



quando si faccia successivamente r =^ 1, 2, m, e si prenda 



Fo = az, Fi = az' . 



Ora, ricordiamo che ad ogni polinomio differenziale lineare 

 omogeneo ne corrisponde un altro detto l'aggiunto del primo, e 

 che un polinomio d'ordine n: 



S."'^'" 



coincide col suo aggiunto (se n è pari) o ne differisce solo per 

 il segno (se n e dispari) quando i coefficienti a siano legati dalla 

 relazione: 



n—r 



a, = (- l)"+^y (- l)'('r) ali, (*). 



(*) Vengasi p. e. la mia Nota : Sopra una classe di polinomi differenziali, 

 " Atti del R. Istituto veneto „. tomo V, serie VII, anno 1893-94. 



