sull'equazione DIFFERENZL\LE del 2'' ORDINE, ECC. 743 



cui primo membro è un polinomio differenziale lineare omogeneo 

 d'ordine m -{- 1, che è uguale o contrario al suo aggiunto (secondo 

 che m è dispari o pari). 



È poi evidente che ogni equazione differenziale lineare omo- 

 genea del 2'^ ordine è sempre riducibile alla forma della (4). 



IT. 



Come applicazione della precedente proprietà, fermiamoci 

 più specialmente a considerare una forma quadratica di due so- 

 luzioni dell'equazione: 



(10) y"+ 2-ay'-^h = ^- 



Se i/i e 2/2 sono due integrali fondamentali della (10) l'es- 

 pressione 



Cii^l + 2012^1^2 + ^22^1 



essendo Cii,Ci2,C22 delle costanti arbitrarie, soddisferà l'equa- 

 zione : 



(11) 2az"' + Sa'z" + {a" + 8ab)z' + 4(ai)'^ = 0. 



Di guisa che l'integrale generale della (11) sarà: 



« = CuT/I + 2Ci2?/iV/2 + C22«/l 



Ora, essendo il primo membro della (11) un polinomio dif- 

 ferenziale che è il contrario del suo aggiunto, se lo moltipli- 

 chiamo per ^, il prodotto risulterà, come è noto, una derivata 

 esatta (*). In questo caso tale prodotto è la derivata dell'es- 

 pressione 



9(2;) = 2azz" ~\- a'zz' -\- 4:abz^ — az'-. 



(*) Dakbuux, LeQOns sur la Théorie generale des surfaces, 2* parte, p. 110. 



