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Perciò ogni soluzione della (11) soddisfa l'equazione: 



(12) cp{z) = K 



essendo K una costante il cui valore dipende dalla soluzione 

 che si considera. Reciprocamente, ogni soluzione della (12), qua- 

 lunque sia K, soddisfa la (11); e quindi è una forma quadra- 

 tica di due soluzioni fondamentali della (10), che perciò potrà 

 sempre ridursi al prodotto di due particolari soluzioni di questa. 



Vediamo ora di determinare il valore della costante K per 

 ogni integrale particolare della (11), cioè corrispondentemente 

 ad ogni particolare forma quadratica degli integrali yi e y^ 

 della (10). 



A tale scopo osserviamo che se in op(2!) poniamo per z il 

 prodotto di due integrali qualunque yr, i/s della (10), si ha: 



Ne segue che: 



cp(y^) z= cp(y/2) = , mentre ^{y^y^^ = — aù^- 



essendo 



' Vi Vi 



A = 



yx y2 



Ed è noto che la quantità aA'~ e una determinata costante. 



Ora, se in (p{z) facciamo z =■ Giiy\ + '^^iiyiy-i + C22 y\, come 

 resultato di questa sostituzione si trova, dopo alcune semplifi- 

 cazioni, la quantità costante 



4aA2(CnC22-Cy, 



che sarà dunque il valore di K. Si deduce che se K è una co- 

 stante qualunque, l'integrazione dell'equazione differenziale (12) 

 può farsi dipendere da quella della (10); giacché l'integrale ge- 

 nerale della prima è evidentemente: 



= Cx^/! + C2y?-f 2/yiy.>/CiC, 



con C, e C2 costanti arbitrarie. 



