CONDIZIONI INIZIALI CHE DETERMINANO GLI INTEGRALI, ECC. 749 



in due parti, una con integrali, l'altra esplicita. La prima parte 

 è identicamente nulla, in quanto ogni integrale viene moltipli- 

 cato per la derivata n- di un polinomio di grado inferiore ad n: 

 la parte esplicita si riduce in forza della (I) a: 



,/"' = /•(:.). 9(.,-)i(- 1)'-C) I f,^ \ f^anaH.-a) \ ■ 



Ma per la (2') e per una nota proprietà dei coefficienti 

 binomiali: 



f(^) 2 ^«a-i ( f(aì{a)ix-a) )^^' ^''^~~ ^)"~' ^"^ "^ ^ ' 

 e quindi finalmente: 



È poi chiaro che la ij si annulla ad es. per x = a insieme 

 colle sue prime a — 1 derivate : infatti , finche p < a, si ha 



fQ~%a) = e quindi per la (6) anche ( -^ ) := ; se invece 



p = a, nella (6) si annulla la parte che si riferisce al punto a, 

 ma non le altre, in quanto /"("'(a) =!= 0. 



Aggiungendo alla funzione «/ data dalla (III) il polinomio 

 di Hermite di grado n — 1, che assume valori assegnati insieme 

 colle sue prime a — 1 derivate (e risp. 3 — 1 ... \ — 1) nel punto 

 x-= a {e risp. in x = b, e . . . l), si ha un integrale dell'equazione 

 (5) che prende nel punto a valori assegnati [arbitrari) insieme colle 

 sue prime a — 1 derivate, nel punto h insieme colle sue prime 

 P — 1 , . . . . , nel punto l insieme colle sue prime X — 1 derivate. 



Queste condizioni iniziali si indicheranno brevemente nel 

 seguito sotto il nome di condizioni (A) (Cf. la nota in fine). 



§ II. — Il teorema fondamentale. 

 3. — Sia l'equazione differenziale ordinaria dell'ordine n: 

 {IV) y"^ = cp(a;,^,y,.../'->0 



dove il secondo membro è una funzione finita e continua dei 



