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suoi argomenti e rispetto ad y, y' . . . y"*" soddisfa alle condi- 

 zioni fondamentali di Lipscliitz: 



(7) 



^{x,y,y\y"...y^''-'^)-^>{x,y,,y\...y,^"-'')\ <A2. 



yi^)_ym 



dove A è una costante positiva e finita. 



Vogliamo dimostrare il teorema: 



Finché i punti a, b . . . l ed ti punto variabile x sono in un 

 intervallo convenientemente piccolo, si può trovare un integrale 

 della (IV) che soddisfi alle condizioni iniziali (A). 



Procediamo per questo col metodo delle approssimazioni 

 successive (o integrazioni successive secondo il Peano) (*). So- 

 stituiamo perciò nel secondo membro della (IV) al posto della y 

 e delle sue derivate delle costanti arbitrarie e, chiamando (Pq{x) 

 il risultato della sostituzione, integriamo l'equazione iniziale: 



^1"' = qpo{aj) 



colle condizioni iniziali (A). Poniamo quindi: 



q)(x,yi,y\ . . . y^f''-'^)=z (p,{x), 

 e integriamo sotto le condizioni iniziali (A) l'equazione: 



yr = cpi(.r); 



e COSI continuiamo indefinitamente. In generale sarà: 



cp{x, yk,y'i:, . • • ?/i"~^^) = (Pk{x), 



ed yu-ui sarà l'integrale, sotto le condizioni iniziali (A), dell'equa- 

 zione: 



y'i;'U = ^,Jx). {k = l,2...) 



In un intervallo convenientemente limitato per la x e i punti 

 a, b . . .1, la yi-4.1 tende uniformemente ad un limite, che è un inte- 

 grale della (IV) sotto le condizioni iniziali (A). 



(*) Cf. Peano, Generalità sulle equazioni differenziali ordinarie, " Atti 

 dell'Accademia di Torino ,, 21 novembre 1897. 



