CONDIZIONI INIZIALI CHE DETERMINANO GLI INTEGRALI, ECC. 753 



Se inoltre i punti a,b . . .1 sono in numero di s -|- 1? sarà 

 anche evidentemente 



(11) s/<L. 



Conviene dunque discutere insieme le due disuguaglianze 

 (10) ed (11). 



Noi procederemo come segue. Osserviamo innanzi tutto 

 come, assegnato ad l un valore arbitrario, si possa certo sod- 

 disfare alla (10); basta per questo prendere L minore dell'unica 

 radice positiva e dell'equazione in x 



a «-1 2n-t-Q 1 



(12) 2,2eMe'%=r^ = X- 



Se poi dovrà essere soddisfatta anche la (11), dovrà essere 

 ■a fortiori 



(13) ÌÌeMe<s2-'-e^-e< A. 



1 



A 



Inversamente, sia l un numero che soddisfa la (13) (ed è 

 possibile soddisfarvi con numeri positivi, in quanto il primo 

 membro è nullo per l = e cresce insieme con l) : sarà allora 

 evidentemente si minore della radice positiva e della (12), nella 

 quale per / sia sostituito il valore trovato: basta allora pren- 

 dere per L un numero qualunque compreso tra si e e, e pros- 

 simo a e tanto quanto si vuole. 



Assegnato adunque l in guisa da soddisfare alla (13), ma 

 del resto affatto arbitrariamente, si può quindi determinare L 

 in guisa da soddisfare alla (V). 



Il teorema fondamentale enunciato è cosi completamente 

 dimostrato. 



5. — Alcune osservazioni sui risultati che precedono. 



Si rammenti bene innanzi tutto, per non esser tratti a de- 

 duzioni che potrebbero sembrare paradossali o per lo meno poco 

 naturali, che le condizioni suesposte sono soltanto sufficienti, ma 

 niente affatto necessarie per la convergenza delle serie integrali, 



