754 ONORATO NICCOLETTI 



che possono convergere ed in generale convergeranno in un in- 

 tervallo più ampio di quello trovato. 



E facile inoltre dimostrare le proprietà seguenti dell'inte- 

 grale y: 



a) L'integrale y e le sue derivate fino all'n'^ sono funzioni 

 finite e continue dei valori iniziali (*). 



b) Nell'intervallo di convergenza l'integrale è unico (**), 



e) Se il secondo membro della (IV) ha le derivate prime 

 rispetto ai suoi argomenti finite e continue, l'integrale y e le sue 

 prime n derivate ammettono derivate rispetto ai valori iniziali, pure 

 finite e continue (***], 



6. — Il teorema fondamentale sopra dimostrato si estende 

 senza alcuna difficoltà ai sistemi di equazioni simultanee della 

 foima : 



(U) y/"'-^ = cp, (x,yi,y^ ... yi/,y\,y'i ... y\\ ...), {i = 1,2 ... p) 



risolute cioè rispetto alle derivate delle funzioni incognite di 

 ordine superiore. 



Assegnato per ogni funzione y/^un gruppo di punti x,]^.,Xìì,...Xìsì, 

 e risp. di numeri intieri positivi aa, «,'2, ... a,s,., tali che a,i -|- a,2-f- 

 -!-...-[- ««v-i =^ n^ ; si può determinare, almeno finche i punti x,k 

 ed il punto x rimangono in un intervallo convenientemente pic- 

 colo, un sistema di funzioni y^{i^\, ...p), integrale delle equa- 

 zioni (14), tale che la y, assuma nel punto ic.fc (per i= 1,2 ...pj 



A; = 1, 2... Si ) valori assegnati arbitrari insieme colle sue 



prime a,fc — 1 derivate. 



La dimostrazione di questo teorema è affatto simile a quella 

 data nel caso di una sola equazione: alla disuguaglianza fonda- 

 mentale (V) se ne sostituisce una perfettamente simile, e alla 

 quale si può soddisfare nello stesso modo, chiamando ancora 



(*) Cf. ad es. Niccoletti, Sugli integrali delle equazioni differenziali or- 

 dinarie, considerati come funzioni dei loro valori iniziali, * Rend. Lincei ,, 

 ir. dicembre 1895. 



(**) Cf. Picard, Traile d'analyse, tomo III, pag. 99 e 100. 



(***) Cf. Peano, nota citata, pag. 11 e 12. 



