CONDIZIONI INIZIALI CHE DETERMINANO GLI INTEGRALI, ECC. 755 



con L l'intervallo totale, con l la minima distanza tra due punti 

 x,k del medesimo gruppo (aventi cioè lo stesso primo indice). 



Il sistema integrale soddisfa inoltre alle condizioni di con- 

 tinuità, unicità e derivabilità, di cui sopra abbiamo discorso. 



7. — Tornando per semplicità al caso di una sola equa- 

 zione, il teorema fondamentale dimostrato dà luogo, quando si 

 scelgano in modo particolare i punti «, h . . .1 e gli esponenti 

 relativi a, p . . . \, a tanti casi particolari, alcuni dei quali no- 

 tevoli. 



Se si suppone che tutti i punti a, b . . .1 coincidano in uno 

 (che avrà allora naturalmente come esponente il numero n) si 

 ricade nel teorema classico di esistenza, dovuto a Cauchy. In 

 questo caso la disuguaglianza fondamentale (V) prende una forma 

 molto più semplice e più facile per la discussione. 



Se si suppone invece che i punti a,h . . .1 siano in numero 

 di n (e quindi ciascuno coll'esponente 1), si ha un integrale 

 dell'equazione data che assume in n punti valori assegnati (*). 



Teoremi affatto analoghi valgono evidentemente per gli in- 

 tegrali del sistema (14). 



Sostituendo poi all'equazione data (o al sistema (14)) un 

 sistema equivalente, introducendo come nuove funzioni incognite 

 delle derivate delle funzioni primitive, oppure anche prendendo 

 come nuove funzioni incognite delle funzioni note delle funzioni 

 incognite date e delle loro derivate, dal teorema fondamentale 

 si deducono tanti teoremi particolari, che in casi speciali pos- 

 sono riuscire molto utili: ma a queste ed altre ovvie deduzioni 

 del teorema fondamentale basti avere appena accennato. 



§ III. — Estensione del teorema fondamentale 

 ad una classe di equazioni a derivate parziali. 



8. — Può forse interessare l'estensione dei risultati prece- 

 denti a quella classe di equazioni a derivate parziali, delle quali 

 diedi alcune proprietà in una memoria pubblicata negli " Atti 

 dell'Accademia di Napoli „ del 1896 (**). 



(*) Cfr. Picard, Traité d'Analyse, tomo III, pag. 94-100. 



(**) Cf. NiccoLETTi, Sull'estensione dei metodi di Picard e di Riemann ad 

 una classe di equazioni a derivate parziali, " Atti dell'Accademia delle Scienze 

 di Napoli „, voi. Vili, serie II, n" 2, 1896. 



