756 ONORATO NICCOLETTl 



Limitiamoci per semplicità al caso di due variabili indipen- 

 denti e di una sola equazione: 



(con i = 0,1 ... m, k = 0,1, ... n, i -{- k<m -\- n — 1), 



di cui il secondo membro soddisfi alle solite condizioni di Lip- 

 schitz. 



Indichiamo con x^, Xi . . . Xs{s < m) ; i/q, i/i . . . y,{t < n) dei nu- 

 meri reali arbitrari, con a,,, a^ . . . a, ; p^, p^ . . . P, dei numeri in- 

 tieri e positivi tali che a(, + «i + • • • + o(.t = ^n > Po "h 3i 4- • • • 

 ...-[- Pj = w ; e poniamo : 



(15) f{x) = {x — a^o)"^^ — ■^1)''= - (^ — ^.)"' ; 



9Ì!/) = (y — !/of' iy — yi^^' -iy — ytf' ■ 



Consideriamo poi l'equazione: 

 il cui integrale generale è: 



m — 1 11 — 1 



z — 2a7'Y,+ ^ky^Xk, 

 



dove le X sono funzioni arbitrarie della sola x, le Y della sola y. 

 Mediante risoluzione di equazioni lineari è possibile determinare 

 le X e le Y in guisa da avere un integrale Zi della (16), che sod- 

 disfi alle condizioni iniziali seguenti (che diremo condizioni (B) ): 



Lungo la caratteristica x = ,r, (0 y = y^ l'integrale z^ prende 

 valori assegnati arbitrari insieme colle sue prime a, ^ 1 (0 Pfc — 1) 

 derivate rispetto ad x {0 ad y), (i = 0, 1 . . . s , A; = 0, 1 . . . t). 



Considerando poi la funzione: 



dove: 



(17') A{xoyo) = 



= \-^7nr-rTwv^ — T< rP T [xo-xr-^y^-yT-M^yìd^dy ì > 



essa è un integrale dell'equazione: 

 (18) ^'"^'T^^^-^y)' 



