CONDIZIONI INIZIALI CHE DETERMINANO GLI INTEGRALI, ECC. 757 



il quale lungo la caratteristica x = x,{ìj ^= ijì) si annulla insieme 

 colle sue prime a, — 1(3^ — 1) derivate prese rispetto ad x 

 (o ad y). 



Ne segue che la funzione 



(19) 2; = 2'i -)- 02 



è uu integrale della (18) che soddisfa alle condizioni iniziali (B). 



Posto ciò, il solito metodo delle approssimazioni successive 

 dimostra il teorema: 



Almeno finché le caratteristiche x= Xi,y =^1/^ ^d il punto 

 vciriahile {xij) rimangono in un'area rettangolare convenientemente 

 'piccola, è possibile determinare un integrale della (VI), che soddisfi 

 alle condizioni iniziali (B). 



Il metodo di dimostrazione è identico a quello tenuto per 

 la equazione (IV); alle quantità Pfc vanno sostituite delle altre 

 P;;, Qr relative risp. alla sola variabile x (od y); la P prende 

 la forma: 



P = 2. 2. P, Q, ; (r + A: < m + n - 1) 



n 



e la disuguaglianza P < - si può discutere in guisa affatto ana- 

 loga a quella del n° 4 : si vedrà anzi in questo caso una lati- 

 tudine molto maggiore ed una certa arbitrarietà nel fissare l'area 

 rettangolare di convergenza. 



NOTA al § 1. 



La formula (III) è un caso particolare della seguente, che 

 enuncio soltanto. Sia. 



(a) y-) 4- «, y»-i' + ... + a„_,t/ + a,,y = g{x) 



un'equazione lineare completa a coefficienti costanti: e l'equa- 

 zione caratteristica della equazione omogenea abbia le radici 

 distinte (Ji, a, ... cr^, degli ordini |lii, h^ ••• Mp (con |Ui-|- ... -|-i>p=«); 

 e sia: 



(8) cp (a) = ((T — (j, ) ,«i (a — a^y^ ... (a 



Poniamo inoltre: 



(t) a = y («) -f I h {z,a) g {z) dz ; 

 dove: 



(.) /.fco=i^:^ 



