762 LUIGI BERZOLARI 



Infine avremo da considerare i simboli di Riemann a quattro 

 indici, definiti come segue: 



(13) (-.o-)=f-i-i-^+SA.([7][';]-[7]W)- 



2. — Volendo studiare le proprietà della varietà W/, ad h 

 dimensioni segnata sopra V„, possiamo supporre, per semplicità, 

 che essa sia quella che vien definita uguagliando le Wa+i, w^xj, 

 . . . , u„, ad m — h costanti arbitrarie, laonde le coordinate Xq, 

 Xi, . . . ,Xn dei punti di W^ saranno fornite dalle stesse (1) in 

 cui si pensino variabili soltanto le Ui,U2,...Uh. Pel nostro 

 scopo ci occorre di trovare come si esprimono nel punto P, per 

 le varietà Wi'' e Wl"', le prime e seconde derivate delle coordi- 

 nate rapporto alle Uy, 112, ... u^, ed inoltre i simboli di Christoffel 

 di P specie ed i simboli di Riemann. 



Cominciando dalla W^f', osserviamo che un punto X di coor- 

 dinate Xo, Xi, ..., X„ giace nello spazio S„, tangente in P a V„, se 



(14) X. = q,,p,+ |^p, + .,.+ ^p., 



dove le qp^ e le derivate s'intendono formate nel punto P, e le 

 p sono quantità variabili vincolate dalla sola relazione 



(15) k^'pl + ^ (^.iP^Pi — k' = 



0. 



Chiamando >/o, )ji, . • -, ijn le coordinate d'un punto y di W,, 

 e c^ la sua distanza da X, per una nota formola (*) si ha 



(16) ^-^cos " = A;^Xoyo + Xi?/, + ... + X„y„. 



Se si vuole che X sia la proiezione del punto// sopra S„,, 

 bisogna render minimo il secondo membro di quest'equazione, 



(*) KiLLiNG, Die nicht-Euklidischen Baumformen in analytischer Behand- 

 lung (Leipzig, 1885), n. 37. 



