SULLA CURVATURA DELLE VARIETÀ TRACCIATE, ECC. 767 



le equazioni dello spazio lineare S„_,„+ft di cui si è parlato al 

 principio del lavoro. Passando per lo spazio S^ tangente in P 

 a Wk, esso conterrà le tangenti condotte in P alle h curve che 

 si ottengono uguagliando a costanti arbitrarie non soltanto le 

 Ufr-u • • • y '^m, nia anche tutte le ii^, . . . , Uf^ all' infuori di una; 

 sicché noi punto P le E soddisfaranno alle equazioni 



(32) ^•■^E,o ^ + £n ,^- + ... + ?,„ v"^ = 



(r=l,2, ..., m-h; p= 1, 2, ... , A). 



D'altra parte, le quantità 



_k^ ^qpo 1 dfp, 1 d(p„ 



sono le coordinate di in iperpiani passanti per rS„_„, normale 

 iu P a V„,; quindi , denotando con 9,/ opportuni coefficienti, 

 le E dovranno avere la forma 



(/' = 1,2, ... , in — A; s = 0, 1, ... n), 



e le (32) diverranno 



(3-0 ,7' (tig -}- ,-'-- a2Q + ...+ r^- a,nQ = 



KOii _ V«22 V«mm 



{r= 1,2 m — /ì; p = 1,2, ...,A). 



Lo spazio S„_m4_/, è dunque rappresentato dalle (31), essendo 

 lo E espresse nella forma (33) colle 6 soddisfacenti alle rela- 

 zioni (34). Per conseguenza le coordinate Yq, Y^, ..., Y„ del punto 

 variabile Y di W|;' sono date dalle stesse formolo (1), nelle 

 quali le Ui,n2, . . . , u„, si pensino legate fra loro mediante le 

 relazioni che si ottengono dalle (31) sostituendo, al posto delle 

 a:,,, a?!, ... , x„, le funzioni cp^,, cp^, . . . , (p„. In forza di tali rela- 

 zioni potremo riguardare, sopra W'/f', le u-^, u.,., . . . ., u,^ come 

 variabili indipendenti, e le t//,+i,...,Wm come funzioni di esse: 



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