SULLA CUliVATURA DELLE VARIETÀ TRACCIATE, ECC. 777 



estendano in generale a tutte le espressioni che, per una va- 

 rietà qualunque ad m dimensioni, il sig. Killing (1. e, n' 131, 

 132 e 133) ha chiamato (D,.) (/• = 1, 2, . . . , m). Ecco in breve, 

 j'iferendo il discorso alla varietà V^, in qual modo si costrui- 

 scono siffatte espressioni. 



Proiettata V„ sopra uno spazio S„,+i condotto ad arbitrio 

 per rS,„ tangente a V^ nel punto fissato P, le m curvature prin- 

 cipali, di cui è dotata in P la proiezione ottenuta, sono le ra- 

 dici della seguente equazione in w. 



1j 





0, 



dove le e sono quantità che determinano la posizione dell'anzi- 

 detto spazio S,„j.i attorno all'S^ tangente. Si indichi con D, (e) 

 il coefficiente di m'""'' nell'equazione precedente, diviso pel coef- 

 ficiente di uu", cioè pel determinante delle a,/: tale quantità è una 

 funzione omogenea di grado r delle e. Se allora r è pari, l'espres- 

 sione (D,.) è quella che risulta da D^ {e) sostituendovi, al posto 

 di ogni prodotto cfj, la differenza 



si 



se invece /• è impari, l'espressione (D,.) è la radice quadrata di 

 ciò che risulta formando il quadrato di D,. (e) ed eseguendo in 

 esso le precedenti sostituzioni. Un significato geometrico delle m 

 espressioni cosi ottenute è stato indicato dal sig. Killing (1. e, 

 n. 133), il quale ha pure dimostrato (1. e, n' 131 e 132) che 

 tutte le (Dr), all' infuori di (D^), rimangono invariate per flessioni 

 di V„, e non dipendono dalla differenza n — m. A questo risul- 

 tato si perviene dopo aver dimostrato che le (Dg), (D3), . . . , 

 (D„) sono aggregati di termini, ognuno dei quali è il prodotto 

 d'una quantità formata esplicitamente colle sole a,/, per un'altra 

 quantità composta di espressioni del tipo 



(48) (&•/, ij) — -^ [a,,at, — a,,a„). 



Ciò premesso, consideriamo la varietà W^ ad h dimensioni 

 tracciata sopra V„., e formiamo per le varietà. Wj," e W|,"' le espres- 



