FUNZIONI OLOMORFE NEL CAMPO ELT,ITTICO 813 



è pure equiconvergente. Segue per F(w) la espressione: 



n 0' [U) 



e) Se infine non si può determinare nessun intero m fisso 

 per cui la serie T\ii„\^'^^ converga, allora basterà assumere ni 

 funzione di n per modo che essendo m' desunto dall'equazione: 



(per e positivo, piccolo ad arbitrio) sia: 



m = E(m')4- 1. 



In tal caso basta sostituire nella (7) questa espressione 

 di m per avere la formula generale. 



È da notarsi che nella (7) gli esponenti delle e che si pre- 

 sentano sotto il segno di prodotto, sono lineari in l{u), l^'^K^), ••• 

 r" (u) e quindi si possono esprimere in modo razionale ed intero 

 per l{u), più), p'iu). 



Se inoltre poniamo: 



riu'u^)= ^^;-;"^ .-»^(-) 

 la formula generale (7) diventa: 



(7') 



n-iy-'-pC^-^u) 



F(w) = CeJ*^(")'^^nr{MJM„)e'^ ''■ 



E poiché la r{u\ii,^) è una ben nota funzione dopp. per. 

 (V. Halphen, Fonct. eli., voi. I, p. 237) resta così posta in evi- 

 denza la doppia periodicità di F{ii). Non si può passare dalla (1) 

 alla (7). 



Per questo verso poi, la definizione generalizzata di genere 

 si presenta evidente ; meglio ancora possiam dire che essa ri- 

 mane invariata: 



Se m è il più piccolo numero intero e fisso, tale che la serie 

 Z 'Un """^^ sia convergente, si dirà che la funzione F(m) è di genere m. 



