FUNZIONI OLOMORFE NEL CAMPO ELLITTICO 815 



b) Definiamo ora con seniW la funzione olomorfa (nel 

 senso nostro), dispari, che si annulla in tutti i punti m„ =: ^ — , 

 dove e è scelto così che essi si trovino interni al parali, fond. 

 Ora poiché la serie semplice Z — - converge per r = 2 e di- 

 verge per r=l si ottiene per seriiti una funzione di altezza 1. 



P( 

 risulta 



Posto allora come dianzi: (y[u) =^ ~— , applicando la (7) 



(9) seniU = Cs(u) IT , , ' e ^ 

 ' ^ n o(m) 



n = 2m; m = — oo ...-f- oo. 



Analogamente la funzione cosiw definita come funzione pari 

 che si annulla nei punti w'„ = , _|_i\ "~ (dove la e è opportuno 

 prenderla uguale alla precedente) è espressa dalla formula: 



(10) cosiif = Ci T\ ' , , - e ^ 

 ^ -' m a{u) 



M=2m-f- 1; m= — oo ...-|-oo 



in cui si è supposto G{u) = 0. 



Nelle due formule aggruppando opportunamente i termini 

 si possono far scomparire gli esponenziali. Si arriva così alle 

 espressioni 



(9') seni u = Cs(«) n ^ .,. '- u„ = 



o\u) "" 2m-K 



(10') cos, u = c, n ^(«+^nW(^-^'n) 



e 



G\u) '•'" (2w. + l)Tr 



n = 1,2 ... 00 



Infine tenuto conto della relazione fondamentale: 



a{u-{-v)a{u—v) , s , . 



le formule precedenti possono anche assumere la forma: 

 (9") seni u= Cs{u)T])p (w,.) —p{u){a («„) 



n 



(10") cos.u ^ c, n ]p{u'„) - p(w) («y «). 



