FUNZIONI OLOMORFE NEL CAMPO ELLITTICO 819 



È facile anche vedere, che si può sempre disporre della \{w), 

 per modo che anche la derivata 1* di (j{u) assuma in ai, «2, •••«n.-- 

 valori arbitrari Ci, C2 ... c'„ ... 



3. — Sieno date due funzioni F(w), Fi(w) olomorfe nel 

 campo ellittico, prime fra loro, ed aventi lo stesso punto singo- 

 lare essenziale u = a. Si possono sempre determinare due fun- 

 zioni X(w), }Ji{u) pure olomorfe e dopp. periodiche per modo che: 



(15) F (w) + \ («) Fi (u) = e-«(«). 



Sieno infatti «i, a^ ... a„ ... gli zeri, supposti semplici per co- 

 modità, della Fi(w) e b^, bz... b„ i valori che in essa prende la F(w). 

 Si costruisca allora una funzione |li(w), tale che in ai, Uz ... a,, ... 

 prenda rispettivamente i valori ]gbi, ìgb^, ...\gbn ... Allora la 

 differenza 



eMi'^ì — F {u) 



è una funzione olomorfa nel campo ellittico che ammette per 

 punti zero i punti «i, «2 ... a„ ... e quindi contiene il prodotto: 



n o{u — a) 



identico a quello che entra a costituire la Fi(w). 



Dunque tale differenza divisa per Fi(w) dà origine ad 

 un'altra funzione olomorfa \(?i), e la formula (15) è dimostrata. 



Ponendo: 



Gì (u) = e -"(") , G (m) = X (u) e-/^(") , 



la (15) può scriversi: 



(15') F(w)Gi(m) + Fi{u)G(u) = 1. 



Relazione analoga a quella di Eulero per le funzioni ra- 

 zionali intere. 



