820 TITO CAZZANIGA 



III. 



1. — Usciamo ora dalla stretta cerchia delle funzioni olo- 

 morfe nel campo ellittico. L'ordinaria teoria ci insegna che ogni 

 funzione razionale di p e p si può mettere sotto la forma: 



/./ X . 0{u Ui)0{u — Mj)...(J(m Un) 



'^ ^ 0{u V\)0{u — Vci)...a{u Vn) 



dove la somma delle u„ è uguale a quella delle v„. 



La decomposizione in fattori primari delle funzioni dopp. 

 period. dà una generalizzazione di questa formula. 



Infatti è evidente il teorema: Ogni funzione meromorfa f{u) 

 nel P parali, ed avente tm sol punto a di singolarità essenziale, 

 è il rapporto di due funzioni olomorfe, di cui l'una ha per zeri 

 gli zeri della data, e l'altra ha per zeri gli infiniti, con gli stessi 

 gradi di multeplicità. 



Se per semplicità si pone a = e si considerano come sem- 

 plici gli zeri u„ ed i poli v„ di f{u), allora questa è espressa da: 



Sotto speciali condizioni il secondo membro si potrà anche 

 porre sotto forma di un solo prodotto infinito. 



2. — Ma è facile ottenere uno sviluppo in fattori primari 

 per funzioni più generali. 



Il Picard (" Com. Rend. „, 1881) ha studiato lo spezza- 

 mento in fattori di una funzione uniforme, la quale ammette 

 infiniti punti zeri, opportunamente distribuiti nell'interno di un 

 cerchio, e sulla circonferenza di questo, infiniti punti singolari 

 distribuiti comunque. 



Estendiamo tale studio ad una funzione dopp. periodica per 

 la quale il cerchio di singolarità è interno al primo parali, dei 

 periodi. 



Si supponga in particolare questo cerchio di raggio r coa- 

 centrico all'origine; sia f{u) la funzione da costruirsi, ed 

 «n^Pn^'"" i suoi punti zero (semplici), distribuiti cosi che: 



P» — >' I < 1 Pn-i — r-, lim , r — p„ I = 0. 



