822 TITO CAZZANIGA — FUNZIONI OLOMORFE, ECC. 



a) La serie X (a„ — r) converge. La funzione da costruirsi 

 è della forma 



(15) /•(u):=cgQwn ^i^~?"j 



dove G(w) è della stessa natura di f[u) e C una costante op- 

 portuna. 



Ma pure in questo caso si ottiene una funzione period. di 

 l'"* specie. Per avere una funzione ordinaria dopp. periodica 

 basta moltiplicare ogni termine del TT per un fattore espo- 

 nenziale. Si ha cioè: 



' ^ ' 0{u -bn) 



h) La serie l (a„ — ^-j^+i converge per m fisso e diverge 

 per ogni intero inferiore. La funzione f{u) assume la forma: 



a(u a) -^^^""^l^'Hu-bn) 



(16) f{u) = Ce^(^*^U ?" ^ ' 



' ' ^ ' 0{u— bn) 



dove C e G(w) hanno il precedente significato. 



e) Non esiste un numero fisso intero m che renda conver- 

 gente la serie 51 (a„ — r)™"^'. La f{u) assume ancora la forma (16) 

 dove al posto della m si ponga: 



m = E(m') + l, 



soddisfacendo m' la relazione: 



I «n — r 1'"'=: n^^"^, 



per e positivo e piccolo ad arbitrio ma finito e diverso da zero. 

 Per r = le formule precedenti si riducono a quelle già otte- 

 nute nel caso di un punto singolare essenziale coincidente con 

 l'origine. 



Anche qui la definizione di altezza della funzione si pre- 

 senta in modo affatto naturale. 



È da notarsi poi, come già fece M. Picard per le funzioni 

 del piano di Gauss, che la scelta delle i„ presenta un alto grado 

 di arbitrarietà, e quella da noi fatta non è che un caso spe- 



