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TULLIO LEVI-CIVITA 



Sull'integrazione dell'equazione A.A.u = 0; 



Nota di TULLIO LEVI-CIVITA. 



La integrazione dell'equazione A2A2 m = entro un'area 

 piana semplicemente connessa, per dati valori al contorno di u 

 e della sua derivata normale venne effettuata in modo completo 

 soltanto per contorni di forma molto particolare (*). 



E mio proposito di mostrare anzitutto (§ 1) come la que- 

 stione possa in ogni caso essere ricondotta: 



\° alla rappresentazione conforme dell'area data sopra 

 un cerchio; 



2'^ alla risoluzione di certo sistema (Q) di infinite equa- 

 zioni lineari con infinite incognite. 



Con ciò il problema si potrebbe, almeno dal punto di vista 

 teorico, ritenere esaurito, se si sapessero assegnare le incognite 

 del sistema (Q); ma la cosa non è senz'altro fattibile, rima- 

 nendo tale sistema fuor della cerchia, trattata finora col metodo 

 dei determinanti infiniti (**). 



E dunque necessario studiare da vicino il sistema (Q). 



Premesso (§ 2) un criterio generale assai semplice, per ri- 

 solvere i sistemi lineari infiniti a mezzo di successive appros- 



(*) Cfr. principalmente : Mathieu, Mémoires sur l'équation aux différences 



partielles , " Journal de Mathématiques „, 2* serie, t. XIV, 1869. — Venske, 



Zur integration der Gleichung AAu = fur ebene Bereiche, " Gottinger 

 Naclirichten „, 1891. — Lauricella, Integrazione dell'equazione A\ù?u) = 

 in un canqìo di forma circolare, in questi " Atti „, voi. XXXI, 1896. — 

 Almansi, Sulla integrazione dell'equazione A*A* = 0, ibidem. I risultati 

 generali, stabiliti dal sig. Lauricella per le equazioni della elasticità, in- 

 ducono, a mio credere, la persuasione che sia possibile estendere anche 

 all'equazione A,AjW = il metodo di Neumann della media aritmetica, 

 ma la teoria è ancora da edificare. 



(**) Veggasi: Cazzaniga, Sui determinanti d'ordine infinito, " Annali di 

 Matematica „, 1897. Si riconoscerebbe facilmente che il nostro sistema (S2) 

 non rientra nei tipi risoluti dall'Autore (cap. XIV, n' 1, 7. 8). 



