934 TULLIO LEVI-CIVITA 



(2) w = cp, 



(3) 1/=^' 



in cui qp e vy rappresentano due funzioni continue dei punti del 

 contorno, comunque assegnate. 



Consideriamo in un secondo piano x, y (eventualmente so- 

 vrapposto al primo) il cerchio a di raggio 1 col centro nell'ori- 

 gine delle coordinate; poniamo poi z =^ x -^ iij , z' =^ x' -\- iy' , 

 z' =f{z), intendendo che f stabilisca la rappresentazione con- 

 forme del cerchio sopra l'area o'. 



Se si immagina di sostituire alle variabili x, y' le nuove 

 variabili x,y mediante la trasformazione ^' =/" (2;), risulterà: 



dx'^ + dy' = B.^{dx'-^dy^), 



con 'H.{x, y) = \f{z)\; quindi djy^Rdp (essendo dp' e dj) ele- 

 menti lineari normali rispettivamente ad s' e alla circonferenza) ; 

 e, per la nota teoria dei parametri differenziali: 



^ ^^ = ò^ + ^ = H^ l^ + 17 ) ~ H^ ' ' 



Ciò posto, risguardando u quale funzione dei punti x, y del 

 cerchio, avremo: 



sopra la circonferenza, dove i valori di cp e vp in un punto qua- 

 lunque della circonferenza sono quelli fissati per il punto cor- 

 rispondente di s'. 



La (T"^) ci dice che -^ AgW è una funzione armonica (re- 



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