sull'integrazione dell'equazione Aj AjM = 935 



golare, per la natura stessa di u e di H, nei punti interni a cr). 

 Perciò, introducendo le coordinate polari p e 0, potremo porre : 



(4) «<^(p,e) =-jj2- ^i'^f' = a^' +V P'"ìa„,cosw9+ p„,senme(, 



i 



le a e p essendo per ora indeterminate. La (P'") diviene così: 



(!*«■•) A.u = H2»;(p, 6). 



Se si ammette che H-ty(p, 0) sia integrabile nel cerchio di 

 raggio 1 (il dubbio può sorgere, perchè nulla si sa a priori 

 circa il comportamento di H- e di w (p, B) per p = 1), alla (l*'*'') 

 e alla (2^'^) si soddisfa, come ben si sa, definendo u mediante 

 l'equazione: 



(5) »(P„e,) = ^ f><ipj7«HV(p,e)rfe - ^fflf )^^, ^rfe, 



in cui G rappresenta la funzione di Green, cioè : 



G = logVr+p^p!-2ppiCos(6-eO + log _^ ^ ==- . 



V P^+p'i — 2ppi cos(e -0i) 



Tutto si riduce oramai a determinare ìv in modo che riesca 



sulla circonferenza — i,— = Hijj. 



dpi 



Per evitare ogni discussione, facciamo l'ipotesi che il con- 

 torno s' dell'area, originariamente assegnata, abbia in ogni punto 

 un raggio di curvatura finito e quindi che la funzione H si con- 

 servi finita e derivabile (la derivata soddisfacendo alle condi- 

 zioni di Dirichlet) anche nei punti della circonferenza; suppo- 

 niamo di più che la funzione qp sia dotata di derivata prima e 

 seconda, la v|i almeno di derivata prima, soddisfacenti esse pure 

 alle condizioni di Dirichlet lungo s' . 



Risulta da ciò che cp ed Hip possono essere rappresentate 

 sopra la circonferenza mediante serie di Fourier: 



9(0i) = yP'o +2j (/>'.. cosw 81 -|- 2'„sen/«ei) 

 (6) 



H(l,0i)ip(ei) = y Po +2jp"„cos«e, + 3"„sen»e0, 



