sull'integrazione dell'equazione A2Ao?< = 947 



e dà luogo, come ben si vede, ad una condizione parecchio re- 

 strittiva circa la forma del contorno. Dacché infatti il fattore 



Y- è maggiore di (1 — \^)- (*), bisogna per lo meno che sia 



\ ^ 1 (1-X«)(l-X) ^ 1 l-\' . l^-'^^ ^ 1+x • j- , / 1 

 X < T — (1-13F" ^ T 1=?? < ^ < -4-' ^"^"^^ ^ < -3 ^ 



-j^ > 27, cioè la funzione f{z) deve mantenersi regolare fin oltre 



la circonferenza di raggio 27. 



Una disuguaglianza un po' meno restrittiva si ha quando 

 l'area data possiede un asse di simmetria. In questo caso è 

 sempre possibile (**) stabilire la rappresentazione conforme in 

 modo che l'asse di simmetria della figura corrisponda all'asse 

 delle X, o, se si vuole, in modo che la funzione f{z) abbia i suoi 

 coefficienti reali. Le (21) e (10') portano allora a concludere che 

 (hn.im-i, «2n-i,2m sì aunullauo identicamente. Il sistema lineare da 

 risolvere, rimettendo per Xz^, ^«-«-i; «m, Pm, si scinde in: 



00 



7 , (hn,im^m = Vìn, (« = 0, 1, 2, . . .), 







e: 



00 



Z(hn-ì,%m-\ Pm= i^2n-l ) (^* = 1 > 2, . . . ) ; 

 m 

 1 



ai quali sistemi, ponendo: 



(hn.ìm = «'n,m, («, W = 0, 1, 2, . . .), 



«2n-i,2m-i~ a"„,m, («, m = 1 , 2, . . . ) ; 

 V2n = v'n, {n = 0, 1, 2, , . .), 

 V2n-i=v"„, {n=l,2, ), 



(*) Questo si ricava facilmente, osservando che, se L è il massimo dei 

 valori assoluti di f'{s) per \ z\ = i ^ , il modulo di f{z), per z compreso 

 entro il cerchio di raggio 1, non può superare YZTjT. quindi Zj < -y— 3? e 

 per conseguenza -^- > j^zi^ • 



(**) Cfr. ScHWARz, Ueber einige Ahhildungsaufgahen, " Crelle's Journal ,, 

 B. LXX, 1869. 



