SULLA TEORIA DELLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI, ECC. 957 



Rimanendo sempre nel campo delle funzioni di due varia- 

 bili indipendenti, si presenta naturale il problema: " Esistono 

 anche per le equazioni di ordine superiore delle trasformazioni 

 analoghe e quale ne è la loro natura? .,• 



Le considerazioni che seguono rispondono alla questione 

 proposta. 



1. — Sia: 



(1) A{z) = Za„z,,= [0<i-\-k<n, z^u=-^^] 



un'equazione lineare omogenea dell' ordine n in due variabili 

 indipendenti: ne sia z l'integrai generale; e, se sarà possibile, sia: 



(2) u; = la,fc0,fc + liUJiAi 



1 



(dove : 



(3) Ai = jPidx-^Qidy 



e P| e Qj sono funzioni lineari omogenee di 2; e delle sue de- 

 rivate, il cui ordine si può supporre non superi n — 1 (^)) una 

 trasformata integro-differenziale della z, una trasformata [m,p] (^), 

 tale cioè che per ogni forma della z integrale della (1) soddisfi 

 anche essa ad un'equazione lineare omogenea dell'ordine n. 



Poiché allora la 2; e la uj soddisfano (rispett.) ad una equa- 

 zione di ordine n, per ciascuna di esse funzioni soltanto n tra 

 le derivate di uno stesso ordine, a partire da n — 1, sono indi- 

 pendenti: le altre si esprimono linearmente (ed omogeneamente) 

 per esse e per quelle di ordine inferiore. Sostituendo inoltre 

 nell'equazione in uu le espressioni della uj e delle sue derivate, 



(•) Con ciò la forma degli integrali Ai è determinata solo a meno di 

 una parte additiva, lineare omogenea in « e nelle sue derivate fino all'or- 

 dine n — 2: noi supporremo senz'altro fissata una qualunque di queste forme. 



Di qui segue anclie che , quando sia ja =N 0, si può sempre supporre 

 che nella (2) il numero ni non sia mai inferiore ad n — 2. Ove infatti lo 

 fosse, basterebbe cambiare in modo opportuno la forma degli integrali A» 

 in guisa da avere una parte esplicita nella z e nelle sue derivate fino al- 

 l'ordine n — 2. 



[') Cf. N„ pag. 6. 



