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dedotte dalla (2), si avrà, tenendo conto della (1) e delle sue 

 derivate, un'identità. Quindi, ove nella (2) si consideri la fun- 

 zione tu come nota, la z come incognita da determinare, se sarà 

 possibile costruire un sistema di equazioni ai differenziali totali 

 nella z, in alcune sue derivate e negli integrali A„ il sistema 

 stesso sarà integrabile, tenendo conto delle relazioni tra la z, 

 la uj e le loro derivate (^). ^ 



2. — Deriviamo allora successivamente la (1) e (2) e distri- 

 buiamo le relazioni ottenute in tanti gruppi , ponendo in un 

 primo gruppo quelle relazioni, se vi saranno, che contengono le 

 derivate della z fino ad un ordine non superiore ad n — 2, e 

 poi in ciascuno dei gruppi successivi tutte quelle relazioni che 

 contengono le derivate della z di un determinato ordine mas- 

 simo. Finche le derivate della uj che compariscono in queste 

 relazioni non raggiungono l'ordine n, è facile vedere che tutte 

 le relazioni ottenute, considerate come tante equazioni lineari 

 nelle Zi^ e negli integrali A„ sono algebricamente distinte. Questo 

 è chiaro per le relazioni che si hanno derivando 1' equazione 

 data, e deve anche accadere per le altre dedotte dal derivare 

 la UJ : altrimenti se ne dedurrebbe per la ai un'equazione almeno 

 di ordine inferiore ad n, il che è assurdo, dovendo in generale 

 la UJ e la « avere lo stesso grado di arbitrarietà. Quando poi 

 l'ordine delle derivate della uj sia maggiore od uguale ad w, 

 allora un ragionamento perfettamente analogo dimostra che delle 

 relazioni ottenute dalle derivate della uj di uno stesso ordine 

 soltanto n sono indipendenti (ed effettivamente lo sono) : le altre 

 si riducono ad esse, tenendo conto dell'equazione in uj e di quelle 

 che si hanno per derivazione. 



Distinguiamo poi le trasformazioni in due classi, generali e 

 singolari. Una trasformazione si dirà generale, quando per essa 

 sia possibile dedurre dalle relazioni di uno stesso gruppo tutte 

 le derivate della z dell'ordine massimo che figura nel gruppo 

 stesso, che è dunque risolubile rispetto a queste derivate. Questo 

 allora dovrà accadere appena nei successivi gruppi che si con- 

 siderano il numero delle relazioni del gruppo uguagli quello 



Cj Cf. T, pag. 17; Ni, pag. 7, ed anche: Sophus Lie, Theorie der Trans- 

 formationsgruppen (Erster Abs., Kap. X). 



