SULLA TEORIA DELLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI, ECC. 959 



delle rispettive derivate della z dell'ordine massimo : ove infatti 

 COSI non fosse, si potrebbe da questo gruppo dedurre una rela- 

 zione almeno, priva delle derivate della z dell'ordine massimo 

 considerato ; e da questa , successivamente derivando, se ne 

 avrebbero delle altre prive delle derivate degli ordini successivi, 

 in guisa che non si perverrebbe mai ad un gruppo risolubile 

 nelle sue derivate dell'ordine massimo. 



Ogni trasformazione non generale si dirà singolare (^). 



3. — Cominciando dalle trasformazioni generali, deriviamo 

 la w fino all'ordine n — 1, la A (0) = fino all'ordine m — 1, Le 

 derivate prime della uj conterranno le derivate della z fino 

 all'ordine m -\- 1 (^), le seconde fino all' ordine m -\-2, ... le 

 {n — 1)^^ fino all'ordine m -\- n — l, precisamente come le deri- 

 vate della A (2;) = dell'ordine m — 1. L'ultimo gruppo contiene 

 quindi m -\- n relazioni, le quali, poiché la trasformazione è ge- 

 nerale, saranno risolubili rispetto alle derivate della z dell'or- 

 dine m -\- n — 1. Potremo allora costruire nella z, nelle sue 

 derivate fino all' ordine m -\- n — 2 e negli integrali A^ (cioè 



m p -\- v^~r>^ — [ funzioni) un sistema di equazioni ai diffe- 

 renziali totali, per il quale le condizioni d'integrabilità saranno 

 soddisfatte in forza delle ^*-i^_ 1- ^JlS!!^ — relazioni ottenute de- 



u u 



rivando la uj fino all'ordine w — 2 e la A (^) = fino all'ordine 

 m — 2. L'integrai generale del sistema conterrà quindi (linear- 

 mente) : 



, I {tn-\-n) (m-\-n — 1) nin — 1) m(ni — 1) , 



costanti arbitrarie, donde, con un ragionamento noto (^), dedu- 

 ciamo doversi la tu annullare per l soluzioni z', . . . z^ , linear- 

 mente indipendenti, dell'equazione in z. 



C) Cf. N,, pag. 12. 



(') Si rammenti la convenzione fatta in fine della nota (') della pag. 4. 



(3) Cf. T, pag. 25; N,, pag. 8. 



