960 ONORATO NICCOLETTI 



Ora la uu contiene in modo effettivo p -\-^^-^ — ^-j-^C^^ — w-|-2) 



coefficienti (in quanto delle derivate della z di un ordine superiore 

 ad « — 2 soltanto n sono indipendenti) i quali saranno legati 

 dalle equazioni lineari omogenee che si hanno sostituendo nella 

 uj alla z una qualunque delle soluzioni z' precedenti ed annul- 

 lando i risultati. Supposto quindi, per maggiore generalità, che 

 queste equazioni si riducano ad ^ — k indipendenti (con k > 0), 

 dovrà, se cu non è identicamente nulla, il numero delle equa- 

 zioni distinte essere almeno di un'unità inferiore a quello dei 

 suoi coefficienti: dovrà aversi cioè: 



(4) p + ""^""^^ + n{m — n+2)>p^- mn - ^• + 1 , 



ossia, riducendo: 



(4*) (n-l)U-2) ^^ ^.^^ 



Ora, se l'equazione in z non soddisfa a particolari condizioni, 

 e cioè affatto generale, deve essere necessariamente A; = : il 

 supporre infatti ^' > porta che siano nulli certi determinanti 

 formati con alcune delle soluzioni z\ delle loro derivate e cogli 

 integrali A; (s"), il che manifestamente non è possibile^ quando 

 tra i coefficienti della (1) non vi sia alcuna relazione. In questa 

 ipotesi si ha dunque: 



(n—l) {n — 2)<0: 



dovrà quindi valere il segno di uguaglianza ed essere w = 1 , 

 oppure n = 2. Donde il teorema : 



(*) Quando sia /; = ed m <Cn — 2 , la lu contiene ^ coeffi- 

 cienti; dovrà quindi aversi; 



(m-f-l)(m-|-2) 



2 > mn — k -\- l , 



m [2n — m — 3)<2k 



ed a fortiori 



mn <2A;, 



e quindi per A; = 0, m = ; la w e la 2: sono cioè proporzionali. 



