SULLA TEORIA DELLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI, ECC. 961 



Un'equazione lineare omogenea in due variabili indipendenti, 

 di ordine superiore al secondo, i cui coefficienti non soddisfino a 

 particolari relazioni, non ammette trasformazioni [m, /;] generali. 



4. — Meno semplice è lo studio delle trasformazioni singolari. 

 Una tale trasformazione è caratterizzata dal fatto che il gruppo 

 che contiene le derivate della uj dell'ordine n — 1, quelle della 

 A (5;) = dell'ordine m — 1 (che chiameremo gruppo (A)) non è 

 risolubile rispetto alle derivate della z dell'ordine m -\- n — 1. 

 Dalle relazioni del gruppo potrà allora dedursene un certo nu- 

 mero h>\, le quali, pure essendo algebricamente distinte da 

 quelle dei gruppi precedenti (cf. n° 2), conterranno le derivate 

 della z degli ordini inferiori ad m -|- ?* — 1 (ed in generale con- 

 terranno quelle dell'ordine m -\- n — 2). Di più ognuna di queste 

 li relazioni conterrà qualche derivata della uu di ordine n — 1, 

 poiché le relazioni ottenute derivando la A {z) = fino ad un 

 ordine qualunque sono tutte indipendenti anche rispetto alle 

 derivate dell'ordine massimo che esse contengono. Ne segue che 

 h < n; (quando sia h = n, e facile vedere che la iaj contiene 

 le derivate della z dell'ordine m solo apparentemente, il che esclu- 

 diamo) e le /i^ condizioni necessarie e sufficienti, affinchè dalle 

 relazioni del gruppo (A) possano dedursene h prive delle deri- 

 vate della z dell'ordine m -\- n — 1 (le quali condizioni sono 

 espresse dall' annullarsi di certi h- determinanti formati coi 

 coefficienti delle derivate della z dell' ordine m -j- ti — 1 nelle 

 relazioni del gruppo (A)), costituiscono /r-^ equazioni omogenee 

 dell'ordine n — h -\- 1 nei coefficienti a,;, ed ui, della du; e, se l'e- 

 quazione data è affatto generale, debbono ritenersi come tante 

 equazioni distinte in questi coefficienti (0. 



Consideriamo allora il gruppo successivo, che diremo (B). 

 Esso contiene, tenendo conto dell'equazione in lU; m -|- w + 1 

 jclazioni distinte colle derivate della z fino all'ordine m -f- n. 

 Di queste relazioni m -\- 1 si ottengono derivando m volte la 



(') Cf. Cesauo, Analisi algebrica, cap. IX e X. — Si ricordi anche il 

 teorema di Kronecker : Condizione necessaria e sufficiente perchè una matrice 

 di r linee ed s colonne sia di caratteristica j} è che sian nulli tutti i deter- 

 minanti di ordine p -\-\ della matrice, ottenuti orlando un determinante non 

 nullo di ordine p, il che porta (; p){s — p) condizioni. 



