SULLA TEORLi DELLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI, ECC. 963 



dizione nei coefficienti della w: ed essendo questi in numero 

 finito, dovrà pure, se uu non è identicamente nullo, il processo 

 aver termine. 



Perverremo dunque di certo ad ottenere le derivate della z 

 dell'ordine m -\- n — 1 in funzione di quelle degli ordini infe- 

 riori, degli integrali A^ e delle derivate della uu: e varrà allora 

 il ragionamento fatto per le trasformazioni generali, colla sola 

 differenza che le relazioni che legano le derivate della z di or- 

 dine inferiore ad m + w — 1 sono ora in nimiero di ^^^^^ — -\-^-^^-^ — - 



-|-A-]-/'iH- ; ma si ha anche un certo numero i>h~{-hi-\- 



di equazioni di condizione (omogenee) tra i coefficienti della u». 

 Varrà dunque sempre, e a piìi forte ragione, la (4) e la (4*): 

 donde di nuovo, se l'equazione in z è generale e quindi k = 0, 

 dovrà essere n = 1, o n = 2. E quindi: 



Un'equazione lineare omogenea in due variahili indipendenti 

 di ordine superiore al secondo, i cui coefficienti non soddisfino a 

 particolari relazioni, non ammette trasformazioni [mp^ singolari. 



Ricordando quindi il risultato del n° 3, possiamo enun- 

 ciare il 



Teorema. — ■ Se un'equazione lineare omogenea di ordine supe- 

 riore al secondo in due variabili indipendenti non soddisfa a par- 

 ticolari relazioni, essa non ammette trasformazioni integro-diffe- 

 renziali. 



5. — Abbiamo supposto che l'equazione data fosse lineare 

 omogenea: ma è facile vedere, modificando leggermente la di- 

 mostrazione, come il teorema valga anche per equazioni di forma 

 qualunque. Si ha cioè: 



Se un'equazione alle derivate parziali in due variabili indi- 

 pendenti di ordine superiore al secondo: 



(5) fixgzpqrst ...z,j,...) = 



non soddisfa a particolari condizioni, non è possibile determinare 

 per essa alcuna funzione: 



(6) lu = w{xìjzpq ... 2;,fc, ... A,, A, ... AJ 



