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(dove A, = ^P^dx-\-Q^dx, essendo P, e Q, funzioni determinate 

 di e delle sue derivate) la quale per ogni valore di z integrale 

 della (5) soddisfi ad un' equazione analoga. 



Questo teorema si può del resto dedurre da quello del n° pre- 

 cedente mediante la considerazione dell'equazione ausiliaria di 

 Darboux (^). 



Si supponga infatti per un momento che 1' equazione (5) 

 ammetta la trasformazione (6): sia z^ un integrale particolare 

 della (5), uu^ la forma corrispondente di uu. Si sostituisca a z^ 

 un integrale della (5) ad esso infinitamente vicino, Zi-{- ^z' (dove 

 € è una costante infinitesima) e si sviluppino la (5), la (6) e 

 l'equazione in ui, dopo questa sostituzione, per le potenze di e. I 

 coefficienti della prima potenza di e danno allora quelle che il 

 Darboux chiama le equazioni ausiliarie di quelle in z ed in lu, e 

 (noi diremo anche) la trasformazione ausiliaria della (6): ed è 

 chiaro senz'altro che le due equazioni ausiliarie della z e della w 

 sono legate dalla trasformazione ausiliaria della (6), Ma e le 

 equazioni e la trasformazione ausiliarie sono lineari omogenee: 

 se l'equazione (6) non soddisfa a particolari relazioni, tanto meno 

 può soddisfarsi la sua equazione ausiliaria; dovrà dunque di 

 nuovo essere w = 1, oppure n = 2, il che dimostra il teorema. 



La questione proposta in principio ha dunque una solu- 

 zione negativa, almeno finche l'equazione data non soddisfa a 

 condizioni particolari. 



6. — Torniamo per semplicità alle equazioni lineari. 



Il teorema del n*» 4 non esclude che, quando i coefficienti 

 della equazione in z soddisfino a particolari relazioni, possano 

 per l'equazione stessa esistere delle particolari trasformazioni e 

 magari anche delle classi di tali trasformazioni. Anzi è facile 

 vedere che tali trasformazioni esistono effettivamente, quando 

 l'equazione in z sia tale che manchino alcune delle condizioni 

 necessarie alla dimostrazione dei n' 3 e 4, in particolare quando 

 nella disuguaglianza fondamentale (4*) il numero k sia diverso 

 da zero e la disuguaglianza stessa sia possibile; quando cioè 

 le mn -\- p — h — h^ . . . equazioni che devono determinare i 



(') Cf. Dakroux, Théorie des surfaces. Voi. IV, nota XI. 



