SULLA TEORIA DELLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI, ECC. 065 



coefficienti della uà, diano per questi coefficienti valori non tutti 

 nulli. L'equazione data deve allora ammettere delle soluzioni 

 particolari z^, z^ . . . z\ le quali, pure essendo linearmente indi- 

 pendenti, devono annullare identicamente la matrice formata 

 colle soluzioni stesse, con quelle loro derivate e cogli integrali 

 A,, che figurano nell'espressione di uu. L'equazione stessa dovrà 

 quindi soddisfare a delle condizioni particolari (la cui forma è 

 naturalmente invariantiva), relative all' integrabilità di deter- 

 minati sistemi di equazioni a derivate parziali simultanee. 



Sia allora dapprima la trasformazione, che consideriamo, 

 generale. Si considerino tutte le relazioni che si hanno derivando 

 la 0) fino all'ordine «, la A (^) =: fino all'ordine m\ e, molti- 

 plicate ordinatamente le prime relazioni per V inde- 

 terminate \„, le seconde per altre ' ^^ M/u, 

 tutte. Avremo un'equazione della forma: 



„ ^UL, SI sommino 



n m m-^n p 



(7) I K^rs 4- I M/u A,„ = I TT., z,^ + Ti Pi Ai ; 



n 1 



dove per brevità si è posto: 



ò'+" Mz) 



A„. = 



e dove le -^ — ■ — — ^ [- p quantità TT,fc, Pi sono funzioni 



lineari omogenee perfettamente determinate delle X„, m,„. Esse 

 sono legate inoltre dalle mn -{- p equazioni, in generale distinte: 



(8) 1 7T.,^if' + li Pi Af == 0; a =1,2 ... mn -^p 



si riducono quindi ad '^ -\- ^ — 1 indipendenti. 



È quindi possibile, ed in generale in un sol modo, determinare 

 i rapporti delle X„ e m,,. i^i guisa da annullarle tutte: e questo 

 appunto dimostra che la uj soddisfa, per ogni valore di z inte- 

 grale della (1), ad un'equazione lineare omogenea dell'ordine n. 

 Quando poi la trasformazione sia singolare, ci limitiamo 

 per semplicità al primo caso, quando cioè basta arrestarsi nel 



